Calculadora de probabilidad hipergeométrica

Una calculadora en línea para calcular la distribución de probabilidad hipergeométrica y las probabilidades de "al menos" y "al menos". most" asociado a las probabilidades hipergeométricas.

Probabilidades hipergeométricas

Si en una población de tamaño \( N \) hay \( R \) éxitos y si \( n \) elementos se seleccionan aleatoriamente de \( N \), entonces la probabilidad de que haya \( x \) éxito entre el \( n \) seleccionado viene dado por:
\[ P(X = x) = \dfrac{ \displaystyle {R \choose x} \displaystyle {N - R \choose n - x} }{ \displaystyle {N \choose n} } \]
La siguiente calculadora calcula la distribución de probabilidad hipergeométrica \( P(X = x)\) a partir de diferentes valores de \( x \). La siguiente calculadora ayuda a investigar las probabilidades hipergeométricas sin perder demasiado tiempo en los cálculos.
Esta calculadora también calcula la probabilidad de "al menos" \( x \) dada por \( P(X \ge x)\) y "como máximo" \( x \) dada por \( P(X \le x) \) relacionado con probabilidades hipergeométricas.

A continuación se resuelve manualmente un ejemplo práctico y luego los valores utilizados en este ejemplo son los valores predeterminados (cuando abre esta página por primera vez) utilizados en la calculadora a continuación para verificar las respuestas.
Ejemplo práctico
Hay 12 bolas en una caja, 7 de las cuales son rojas y las restantes son negras. Se seleccionan cinco bolas al azar de la caja.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las 5 bolas seleccionadas sean rojas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 de las 5 bolas seleccionadas sean rojas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 3 de las 5 bolas seleccionadas sean rojas?

Solución al ejemplo
a) Dado que la población total tiene un tamaño: \( N = 12 \), podemos considerar una bola roja como un éxito, por lo tanto \( R = 7 \) y el número de bolas seleccionadas de toda la población es: \( n = 5\)
\( P(X = 3) = \dfrac{ \displaystyle {7 \choose 3} \displaystyle {12 - 7 \choose 5 - 3} }{ \displaystyle {12 \choose 5} } \)

\( = \dfrac{ \displaystyle {7 \choose 3} \displaystyle {5 \choose 2} }{ \displaystyle {12 \choose 5} } = 175 /396 \approx 0,4419 \)

b)
Al menos 3 rojos significa que \( x \) es \( 3, 4,\; \text{o} \; 5\) o \( x \ge 3 \)
\( P(\text{al menos 3}) = P(X \ge 3) = P( X = 3 \; o \; X = 4 \; o \; X = 5 ) \)
Usando la fórmula de la suma
\( P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5 ) \)
Usando la fórmula hipergeométrica, la probabilidad anterior se puede escribir como
\( = \dfrac{ {7 \choose 3} {12 - 7 \choose 5 - 3} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 4} {12 - 7 \choose 5 - 4 } }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 5} {12 - 7 \choose 5 - 5} }{ {12 \choose 5} } \)

\( = \dfrac{ {7 \choose 3} {5 \choose 2} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 4} {5 \choose 1} }{ {12 \choose 5 } } + \dfrac{ {7 \choose 5} {5 \choose 0} }{ {12 \choose 5} } = 91/132 \approx 0,6894\)

C)
Como máximo 3 rojos significa que \( x \) es \( 0, 1, 2 \; \text{o} \; 3\) o \( x \le 3 \)
\( P(\text{como máximo 3}) = P(X \le 3) = P( X = 0 \; o \; X = 1 \; o \; X = 2 \; o \; X = 3 ) \)
Usando la fórmula de la suma
\( P(X \le 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2 ) + P(X = 3 ) = \)
Usando la fórmula hipergeométrica, la probabilidad anterior se puede escribir como
\( = \dfrac{ {7 \choose 0} {12 - 7 \choose 5 - 0} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 1} {12 - 7 \choose 5 - 1 } }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 2} {12 - 7 \choose 5 - 2} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 3} { 12 - 7 \choose 5-3} }{ {12 \choose 5} } \)

\( = \dfrac{ {7 \choose 0} {5 \choose 5} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 1} {5 \choose 4} }{ {12 \choose 5 } } + \dfrac{ {7 \choose 2} {5 \choose 3} }{ {12 \choose 5} } + \dfrac{ {7 \choose 3} {5 \choose 2} }{ {12 \choose 5 } } = 149/198 \approx 0,7525\)

¿Cómo utilizar la calculadora?

1 - Ingrese el tamaño de la población \( N \) y el número total de éxitos \( R \) dentro de la población. Ingrese el tamaño \( n \) de la muestra seleccionada de la población y el número de éxitos \( x \) y presione "Calcular".
\( N \), \( R \) and \( n \) are positive integers and \( x \) is a non negative integer.
\( 0 \le x \le n \) , \( R \lt N \) , \( N-R \ge n - x \)