Ecuación de la parábola
Definición y ecuación de una parábola con eje vertical
Una parábola es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\) en un plano tal que la distancia de \( M \) a un punto fijo \( F \) llamado foco es igual a la distancia de \ ( M \) a una línea fija llamada directriz como se muestra a continuación en el gráfico.
Consideremos una parábola con un vértice \( V(0,0) \) (el punto más bajo) en el origen (0,0) como se muestra en el gráfico y el foco \( F(0 , p) \) en el eje de simetría (el eje y) con \( p > 0 \).
La distancia entre los puntos \(M(x,y) \) de la parábola y el foco \( F(0 , p)\) está dada por
\( MF = \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} \)
La distancia desde el punto \(M(x,y) \) a la dirección de la ecuación \( y = - p \) está dada por
\( MD = y + p \)
Según la definición anterior de parábola, estas dos distancias son iguales; por eso
\(\sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} = y + p\)
Cuadra ambos lados y expande los dos lados de la ecuación.
\( x^2 + y^2 - 2 py + p^2 = y^2 + 2 py + p^2 \)
Término similar al grupo
\( 4py = x^2 \)
Escribe la ecuación de la parábola como \( y \) en términos de \( x \).
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Ejemplo 1
El punto \( ( 4,2) \) está en la gráfica de una parábola con vértice en el origen \( (0,0) \) y eje vertical. Encuentra el foco de la parábola, grafica y etiqueta el foco y grafica la directriz.
Solución al ejemplo 1
La ecuación de una parábola con eje vertical en cuyo vértice está el origen está dada por
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Dado que \( ( 4,2) \) está en la gráfica de la parábola, las coordenadas \( x = 4 \) y \( y = 2 \) satisfacen la ecuación de la parábola. Por eso
\( 2 = \dfrac{1}{4p} (4)^2 \)
Simplificar
\( 2 = \dfrac{16}{4p} \)
Resuelva para \( p \)
\( p = 2 \)
El foco está en el punto \( F(0 , 2)\) y la directriz viene dada por la línea horizontal \( y = - 2 \) como se muestra en el siguiente gráfico.
Podemos generalizar y escribir la ecuación de una parábola en un vértice \( V(h,k) \) de la siguiente manera
\( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\)
con vértice \( V(h,k) \) y foco \( F(h,k+p) \) y directriz dada por la ecuación \( y = k - p \)
Ejemplo 2
Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación \(y = \dfrac{1}{16} x^2 - \dfrac{1}{4} x + \dfrac{9}{4}\) .
Solución al ejemplo 2
Reescribe la ecuación dada en forma estándar completando el cuadrado. factoriza \( 1/16 \) a partir de los términos en \( x \) y \( x^2 \)
\(y = \dfrac{1}{16} (x^2 - 4 x) + \dfrac{9}{4}\) .
Completa el cuadrado dentro del paréntesis.
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 2^2 ) + \dfrac{9}{4}\)
Reescribir en forma estándar
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 4 ) - \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}\)
Términos similares a grupos
\(y = \dfrac{1}{16} (x - 2)^2 + 2 \)
Compare la ecuación anterior con la forma estándar \( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\) e identifique los parámetros \( p \), \( h \) y \( k \)
\( \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4p}\); resuelva para \( p \) para obtener \( p = 4 \)
\( h = 2 \) y \( k = 2 \)
Vértice en \( V(h,k) = V(2,2)\), foco en \( F(h,k+p) = F(2,6)\), directriz dada por \( y = k - p = - 2 \)
Ecuación de una parábola con eje horizontal
La ecuación de una parábola con eje horizontal se escribe como
\( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\)
con vértice \( V(h,k) \) y foco \( F(h+p,k) \) y directriz dada por la ecuación \( x = h - p \)
Ejemplo 3
Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación \(x = \dfrac{1}{4} y^2 - y + 11\) .
Solución al ejemplo 3
Agrupa los términos en \( y^2 \) y \(y \) y factoriza \( 1/4 \).
\(x = \dfrac{1}{4} (y^2 - 4 y) + 11\)
Usa los términos \( y^2 \) y \(y \) dentro del paréntesis y completa el cuadrado
\(x = \dfrac{1}{4} ((y^2 - 2) - 2^2) + 11\)
Reescribir en forma estándar
\(y = \dfrac{1}{4} ((y-2)^2) + 10 \)
Términos similares a grupos
Compare la ecuación anterior con la ecuación en forma estándar \( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\) e identifique los parámetros \( p \), \( h \) y \ (k\)
\( \dfrac{1}{4p} = \dfrac{1}{4} \) da \( p = 1 \)
\( h = 10 \) y \( k = 2 \)
Vértice en \( V(h,k) = V(10,2)\), foco en \( F(h+p,k) = F(11,2)\), directriz dada por \( x = h - pag = 9 \)
Tutorial interactivo sobre la ecuación de una parábola
Ahora se presenta una aplicación para explorar la ecuación de una parábola y sus propiedades. La ecuación utilizada es la ecuación estándar que tiene la forma
\( y = \dfrac{1}{4 p}(x - h)^2 + k \)
donde h y k son las coordenadas x e y del vértice de la parábola y p es un número real distinto de cero.
La exploración se realiza cambiando los parámetros \( p, h \) y \( k \) incluidos en la ecuación anterior y realizando las actividades que se describen a continuación.
Los valores predeterminados al abrir esta página son: \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \)
Haga clic en el botón "Plot Equation" para comenzar.
Pase el cursor del mouse sobre el gráfico del punto trazado para leer las coordenadas..
1 - Comience con los valores predeterminados \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) el botón "Trazar ecuación". Pase el cursor de mousse sobre el gráfico para rastrear y leer las coordenadas de los puntos en el gráfico, en el foco F o en el vértice V.
a) Utilice los valores de \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) y calcule las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz y compararlos con los valores gráficos.
b) Seleccione un punto \( M \) en la parábola y encuentre la distancia \( MF \) y compárela con la distancia de \( M \) a la directriz (consulte la definición de parábola más arriba). ¿Son iguales? (o cercanos)
2 - En el papel, encuentra la ecuación de la parábola para los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = - 4 \).
a) Calcular las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz
b) Calcular las intersecciones x e y
c) Establezca los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = - 4 \) en la aplicación de arriba y luego lea y verifique la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco \( F \) y el vértice \( V \) y la ecuación de la directriz.
d) Comprueba las intersecciones x e y
3 - Ejercicio:
a) En papel, reescribe la ecuación.
\[ x^2 - 4 x - 4 y = 0 \]
en la forma \( y = \dfrac{1}{4 p} (x - h)^2 + k \) (ver ejemplo 2 arriba)
b) Identifica y encuentra los valores de \( p \), \( h \) y \( k \).
c) Encuentre las coordenadas del foco \( F \), el vértice \( V \), las intersecciones x e y y la ecuación de la directriz
d) Utilice la aplicación anterior y verifique los valores encontrados mediante los cálculos.
Más referencias y enlaces
Tutorial sobre ¿Cómo funcionan las antenas parabólicas?
Tutorial sobre cómo encontrar el foco de las antenas parabólicas.
Tutorial interactivo sobre cómo encontrar la ecuación de una parábola.
Calculadora de parábola de tres puntos.
Tutoriales similares en circle,
Elipse
y la hipérbola se puede encontrar en este sitio.