Escriba una matriz en forma escalonada de fila reducida
Presentamos la definición de matriz en forma escalonada por filas y de matriz en forma escalonada por filas reducida. Luego resolvemos ejemplos sobre cómo escribir una matriz dada en forma escalonada por filas y luego en forma escalonada por filas reducida usando las operaciones de tres filas . También se incluyen más preguntas con soluciones detalladas.
Matriz en forma escalonada de filas
Una matriz en forma escalonada de filas sigue las siguientes reglas:
- Si una fila no contiene solo ceros, el primer número distinto de cero, llamado pivote, es un 1, también llamado 1 inicial. (Tenga en cuenta que algunos autores no requieren que este número distinto de cero sea un 1, consulte con su ¡instructor!).
- Para dos filas sucesivas con 1 a la izquierda, el 1 de la fila inferior está a la derecha del 1 de la fila superior.
- Cualquier fila con ceros solamente se encuentra en la parte inferior de la matriz.
Ejemplo 1
Para cada matriz, utilice las reglas anteriores para explicar si se trata de una forma escalonada por filas o no.
Solución al Ejemplo 1
a) a) La matriz en la parte a) no está en forma escalonada de fila porque se viola la regla 2: el 1 principal en la fila 3 está a la izquierda del 1 principal en la fila 2; debe estar a la derecha.
b) La matriz en la parte b) no está en forma escalonada fila fila porque se viola la regla 3: la fila 2 solo tiene ceros y no está en la parte inferior.
c) La matriz del inciso c) está en forma escalonada por filas.
d) La matriz del inciso d) no está en forma escalonada por filas porque se violan las reglas 2 y 3. La fila superior es todo ceros y debería estar en la parte inferior, la fila 3 tiene un 1 inicial que está a la izquierda del 1 inicial en la fila 2. Debe estar a la derecha.
e) La matriz del inciso e) está en forma escalonada por filas.
Matriz en forma escalonada de fila reducida
Una matriz está en forma escalonada de fila reducida si está en forma escalonada de fila y con ceros arriba y abajo de los 1 principales.
Ejemplo 2
¿Cuál de las siguientes matrices está en forma escalonada por filas y cuál está en forma escalonada por filas reducida?
Solución al Ejemplo 2
Forma escalonada por filas: a) b) d) porque obedecen las reglas de la forma escalonada por filas
Forma escalonada de fila reducida: b) d) porque obedecen las reglas de la forma escalonada de filas y tienen ceros debajo y encima de los unos en cada fila.
Tenga en cuenta que la matriz en a) está en forma escalonada de fila pero no reducida porque arriba del 1 inicial en la fila 2 hay un 1.
Operaciones de fila para escribir una matriz en forma escalonada de filas
Ahora usamos las tres operaciones de fila enumeradas a continuación para escribir un matriz dada en forma escalonada por filas.
- Intercambiar dos filas
- Sumar un múltiplo de una fila a otra
- Multiplicar una fila por una constante distinta de cero
Ejemplo 3
Use cualquiera de las tres operaciones de fila anteriores para escribir las matrices en las partes a), b) y d) del ejemplo 1 en forma escalonada de fila.
\( \)\( \)\( \)\( \)
Solución al Ejemplo 3
a) Intercambie las filas 2 y 3 y reescriba la matriz como
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & - 1 & -3\\
0 & 1 & - 6 & - 12 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\)
b) Intercambie las filas 2 y 3 y reescriba la matriz como
\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\)
d) Intercambie la fila 1 y la fila 3 y reescriba la matriz como
\(\begin{bmatrix}
1 & 6 & - 1 & -1 \\
0 & 1 & -4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 4
Use cualquiera de las tres operaciones de fila anteriores, o cualquier combinación, para escribir la matriz \(\begin{bmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
2 & 0 & -4 & 2\\
0 & 1 & 1 & 3\\
1 & 1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
\) en forma escalonada de filas reducidas.
Solución al Ejemplo 4
Given \(\begin{bmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
2 & 0 & -4 & 2\\
0 & 1 & 1 & 3\\
1 & 1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
\)
Hay dos partes en el proceso de reescribir una matriz en forma escalonada de fila reducida.
Parte 1: Primero reescribimos la matriz dada en forma escalonada por filas
Procedemos por columna a partir de la más a la izquierda.
PASO 1: Encuentre un 1 inicial, llamado pivote, en la columna 1, si lo hay, y ceros debajo.
Necesitamos una fila que no sea cero en la columna (1) y colocarla en la parte superior.
Aquí hay muchas opciones: se pueden usar las filas (1), (2) y (4). La forma más sencilla aquí es multiplicar todos los términos de la fila (1) por \( \dfrac{1}{3} \) y simplificar
\( \begin{matrix}
\color{red}{\frac{1}{3} R_1} \\
\\
\\
\\
\end{matrix}
\)
\( \begin{bmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
2 & 0 & -4 & 2\\
0 & 1 & 1 & 3\\
1 & 1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
\)
=
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
2 & 0 & -4 & 2\\
0 & 1 & 1 & 3\\
1 & 1 & -2 & 1
\end{bmatrix}
\)
Ahora necesitamos 0 debajo del 1 principal en la fila (1).
La fila (2) tiene un 2 en la columna (1) y una forma de igualarlo a cero es sumarlo a -2. Una forma es sumar -2 veces la fila (1) a la fila (2).
Además, la fila (4) tiene un uno en la columna (1) y una forma de hacerlo igual a cero es agregarle -1. Una forma es sumar -1 veces la fila (1) a la fila (4)
\( \begin{matrix}
\\
\color{red}{R_2 - 2 R_1}\\
\\
\color{red}{R_3 - R_1}\\
\end{matrix}
\)
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
\color{red}{2 - 2} & \color{red}{0 - 0} & \color{red}{-4 + 2} & \color{red}{2 - 4}\\
0 & 1 & 1 & 3\\
\color{red}{1 - 1} & \color{red}{1 - 0} & \color{red} {-2 - (-1)} & \color{red} {1 - 2}
\end{bmatrix}
\)
=
\( \begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 0 & -1 & 2 \\
\color{magenta}0 & 0 & - 2 & - 2\\
\color{magenta}0 & 1 & 1 & 3\\
\color{magenta}0 & 1 & -1 & -1
\end{bmatrix}
\)
PASO 2: Encuentre un 1 inicial, llamado pivote, en la columna 2, si lo hay, y ceros debajo.
Ahora necesitamos una fila entre las filas (2), (3) y (4) con un valor distinto de cero en la columna (2); dos filas de opciones (3) o (4). Intercambiar filas (2) y (4)
\( \begin{matrix}
\\
\color{red}{R_4}\\
\\
\color{red}{R_2}\\
\end{matrix}
\)
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & - 2 & - 2
\end{bmatrix}
\)
La fila (2) tiene un 1, que es el pivote, en la columna (2) y, por lo tanto, la fila (3) debe tener un cero en la columna (2). Sume -1 veces la fila (2) a la fila (3) y simplifique.
\( \begin{matrix}
\\
\\
\color{red}{R_3 - R_2}\\
\\
\end{matrix}
\)
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1\\
\color{red}{0-0}& \color{red}{1-1}& \color{red}{1-(-1)} & \color{red}{3-(-1)}\\
0 & 0 & - 2 & - 2
\end{bmatrix}
\)
=
\( \begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 0 & -1 & 2 \\
\color{magenta}0 & \color{blue}1 & -1 & -1\\
\color{magenta}0 & \color{magenta}0 & 2 & 4\\
\color{magenta}0 & \color{magenta}0 & - 2 & - 2
\end{bmatrix}
\)
PASO 3: Encuentre un 1 inicial, llamado pivote, en la columna 3, si lo hay, y ceros debajo.
Ahora que tenemos un no cero en clomun (3) fila (3), necesitamos tener un cero en la columna (3) de la fila (4). Esto se puede hacer simplemente agregando la fila (3) a la fila (4).
\( \begin{matrix}
\\
\\
\\
\color{red}{R_4+R_3}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1\\
0 & 0 & 2 & 4\\
0+ 0 & 0+0 & - 2+2 & - 2+4
\end{bmatrix}
\)
=
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1\\
0 & 0 & 2 & 4\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\)
Un 1 inicial en la fila (3) que también es el pivote de la columna (3) y un 1 inicial en la fila (4) se obtienen multiplicando la fila (3) por \( \dfrac{1}{2} \) y la fila ( 4) por \( \dfrac{1}{2} \).
\( \begin{matrix}
\\
\\
\color{red}{\frac{1}{2} R_3}\\
\color{red}{\frac{1}{2} R_4}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1\\
0 & 0 & 2 & 4\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\)
=
\( \begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 0 & -1 & 2 \\
\color{magenta}0 & \color{blue}1 & -1 & -1\\
\color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{blue}1 & 2\\
\color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{blue}1
\end{bmatrix}
\)
Conclusión: Nuestra matriz ha sido escrita en forma escalonada de filas.
Parte 2: ahora continuamos reescribiéndolo en forma escalonada de fila reducida
Procedemos por columna a partir de la columna más a la derecha con un pivote.
PASO 4: Todos los números encima del primero en la fila 4 deben ser cero
Sume -2 veces la fila 4 a la fila 1; suma la fila 4 a la fila 1 y suma -2 veces la fila 4 a la fila 3.
\( \begin{matrix}
\color{red}{R_1 - 2 R_4}\\
\color{red}{R_2 + R_4} \\
\color{red}{R_3 - 2 R_4} \\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 0 & -1 & \color{magenta}0 \\
0 & \color{blue}1 & -1 & \color{magenta}0\\
0 & 0 & \color{blue}1 & \color{magenta}0\\
0 & 0 & 0 & \color{blue}1
\end{bmatrix}
\)
PASO 5: Todos los números encima del primero en la fila 3 deben ser cero
Agregue la fila 3 a la fila 1; agregue la fila 3 a la fila 2
\( \begin{matrix}
\color{red}{R_1 + R_3}\\
\color{red}{R_2 + R_3} \\
\\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0 \\
0 & \color{blue}1 & \color{magenta}0 & \color{magenta}0\\
0 & 0 & \color{blue}1 & \color{magenta}0\\
0 & 0 & 0 & \color{blue}1
\end{bmatrix}
\)
El número sobre el 1 en la fila 2 ya es cero y no se necesitan cálculos.
Conclusión: La matriz dada en el ejemplo 4 se escribió primero en forma escalonada por filas en la parte 1 y luego continuamos y la escribimos en forma escalonada por filas reducida en la parte 2.
Se incluye una calculadora para matrices de reducción de filas .
Preguntas con solución
Parte 1
a) ¿Cuáles de las siguientes matrices NO están en forma escalonada por filas? Explicar por qué.
b) De las matrices que están en forma escalonada por filas, ¿cuáles NO están en forma escalonada por filas reducida? Explicar por qué.
-
\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2 & -3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & -2
\end{bmatrix}
\)
-
\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 & -1\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix}
\)
-
\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\)
-
\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -2\\
0 & 1 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -4
\end{bmatrix}
\)
-
\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -9\\
0 & 1 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\)
-
\(\begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\)
Parte 2
Reescribe en forma reducida por renglones las siguientes matrices.
-
\(\begin{bmatrix}
2 & 4 & 2 \\
-1 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\)
-
\(\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 1 & 0\\
2 & 1 & 0 & -1\\
5 & 0 & -2 & 6
\end{bmatrix}
\)
-
\(\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 0 & 1 & 1\\
1 & -2 & -1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2 & -2 & 1 \\
-1 & 3 & 4 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\)
Soluciones a las preguntas anteriores
Parte 1
a) Matrices 1. y 3.
En la matriz 1., el 1 en la columna (2) de la fila (4) hace que esa matriz NO sea una forma escalonada de fila.
En la matriz 3, el 1 en la columna (1) de la fila (2) hace que esa matriz NO sea una forma escalonada de fila
b) Matrices 2. y 5.
En la matriz 2, el -1 y el 2 en la fila (1) y el 2 en la fila (2) hacen que la matriz NO sea una forma escalonada de fila reducida.
En la matriz 5., el 1 en la columna (3) de la fila (2) hace que esa matriz NO sea una forma escalonada de fila reducida.
Parte 2
1)
Escriba la matriz dada en forma escalonada por filas
\(
\begin{matrix}
\color{red}{\frac{1}{2} R_1} \\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\color{red}{R_2+ R_1} \\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 4 & 1
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\color{red}{\frac{1}{2} R_2} \\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1/4
\end{bmatrix}
\)
Escriba la matriz anterior en forma escalonada de fila reducida
\(
\begin{matrix}
\color{red}{R_1 - 2 R_2} \\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/2 \\
0 & 1 & 1/4
\end{bmatrix}
\)
2)
Escriba la matriz dada en forma escalonada por filas
\(
\begin{matrix}
\color{red}{ - R_1 } \\
\\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 & 0\\
2 & 1 & 0 & -1\\
5 & 0 & -2 & 6
\end{bmatrix} \)
\(
\begin{matrix}
\\
\color{red}{ R_2 - 2 R_1 } \\
\color{red}{ R_3 - 5 R_1 } \\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 & 0\\
0 & 5 & 2 & -1\\
0 & 10 & 3 & 6
\end{bmatrix} \)
\(
\begin{matrix}
\\
\color{red}{\frac{1}{5} R_2} \\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2/5 & -1/5\\
0 & 10 & 3 & 6
\end{bmatrix} \)
\(
\begin{matrix}
\\
\\
\color{red}{ R_3 - 10 R_2 } \\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2/5 & -1/5\\
0 & 0 & -1 & 8
\end{bmatrix} \)
\(
\begin{matrix}
\\
\\
\color{red}{- R_3}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2/5 & -1/5\\
0 & 0 & 1 & -8
\end{bmatrix} \)
Escriba la matriz anterior en forma escalonada de fila reducida
\(
\begin{matrix}
\color{red}{R_1 + R_3} \\
\color{red}{ R_2 - (2/5) R_3 } \\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & -8\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & -8
\end{bmatrix} \)
\(
\begin{matrix}
\color{red}{R_1 + 2 R_2} \\
\\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & - 2\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & -8
\end{bmatrix} \)
3)
Escriba la matriz dada en forma escalonada por filas
\(
\begin{matrix}
\color{red}{ - R_1 } \\
\\
\\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & -1 & -1\\
1 & -2 & -1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2 & -2 & 1 \\
-1 & 3 & 4 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\color{red}{R_2 - R_1}\\
\\
\color{red}{R_4 + R_1}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & -1 & -1\\
0 & 0 & -1 & 3 & 4\\
0 & 1 & 2 & -2 & 1 \\
0 & 1 & 4 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\color{red}{\text{interchange} \; R_2 \; \text{and} \; R_3}\\
\color{red}{\text{interchange} \; R_3 \; \text{and} \; R_2}\\
\color{red}{R_4 - R_3}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 2 & -2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 2 & 3 & -2
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\\
\color{red}{ - R_3}\\
\color{red}{R_4 +2 R_3}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 2 & -2 & 1\\
0 & 0 & 1 & -3 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 9 & 6
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\\
\\
\color{red}{ \frac{1}{9} R_4}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & -1 & -1\\
0 & 1 & 2 & -2 & 1\\
0 & 0 & 1 & -3 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2/3
\end{bmatrix}
\)
Escriba la matriz anterior en forma escalonada de fila reducida
\(
\begin{matrix}
\color{red}{R_1 + R_4}\\
\color{red}{R_2 + 2 R_4}\\
\color{red}{R_3 + 3 R_4} \\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 0 & -1/3\\
0 & 1 & 2 & 0 & 7/3\\
0 & 0 & 1 & 0 & - 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2/3
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\color{red}{R_2 - 2 R_3}\\
\\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 0 & -1/3\\
0 & 1 & 0 & 0 & 19/3\\
0 & 0 & 1 & 0 & - 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2/3
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\color{red}{R_1 + 2 R_2}\\
\\
\\
\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 37/3\\
0 & 1 & 0 & 0 & 19/3\\
0 & 0 & 1 & 0 & - 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2/3
\end{bmatrix}
\)
Más referencias y enlaces
- Álgebra lineal
- elementary matrices