Se presentan ejemplos y preguntas sobre matrices junto con sus soluciones.
Los siguientes son ejemplos de matrices (plural de matrix).
Ejemplo 1
La siguiente matriz tiene 3 filas y 6 columnas.
La entrada (o elemento) en una fila i y columna j de una matriz A (letra A mayúscula) se denota con el símbolo \((A)_{ij} \) o \( a_{ij} \) (letra a minúscula).
En la matriz A que se muestra a continuación, \(a_{11} = 5 \), \(a_{12} = 2 \), etc... o \( (A)_{11} = 5 \), \( (A)_{12} = 2\), etc... \[ \textbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 7 & -3 \\ -9 & -2 & -7 & 11\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ \end{bmatrix} \]
Una matriz cuadrada tiene el número de filas igual al número de columnas.
Para cada matriz a continuación, determine el orden y diga si es una matriz cuadrada.
\[
a) \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 3 \\
4 & -3 & -7 & -9\\
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
b) \begin{bmatrix}
-6 & 2 & 0 \\
3 & -3 & 4 \\
-5 & -11 & 9
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
\\
c) \begin{bmatrix}
1 & -2 & 5 & -2
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
d) \begin{bmatrix}
-2 & 0 \\
0 & -3
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
e) \begin{bmatrix}
3
\end{bmatrix}
\]
Soluciones
a) orden: 2 × 4. El número de filas y columnas no es igual, por lo tanto, no es una matriz cuadrada.
b) orden: 3 × 3. El número de filas y columnas es igual, por lo que esta matriz es una matriz cuadrada.
c) orden: 1 × 4. El número de filas y columnas no es igual, por lo tanto, no es una matriz cuadrada. Una matriz con una fila se llama matriz fila (o vector fila).
d) orden: 2 × 2. El número de filas y columnas es igual, por lo tanto, esta es una matriz cuadrada.
e) orden: 1 × 1. El número de filas y columnas es igual, por lo que esta matriz es una matriz cuadrada.
Una matriz identidad In es una matriz cuadrada n×n con todos sus elementos en el diagonal igual a 1 y todos los demás elementos iguales a cero.
Ejemplo 4
Las siguientes son todas las matrices de identidad.
\[I_1= \begin{bmatrix}
1 \\
\end{bmatrix}
\quad , \quad
I_2= \begin{bmatrix}
1 & 0\\
0& 1
\end{bmatrix} \quad , \quad
I_3= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0& 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada con todos sus elementos (entradas) iguales a cero excepto los elementos en la diagonal principal de arriba a la izquierda a abajo a la derecha. \[A = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]
Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada con todos sus elementos por debajo de la diagonal principal igual a cero. La matriz U que se muestra a continuación es un ejemplo de una matriz triangular superior.
Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada con todos sus elementos por encima de la diagonal principal iguales a cero. La matriz L que se muestra a continuación es un ejemplo de una matriz triangular inferior.
\(U = \begin{bmatrix}
6 & 2 & -5 \\
0 & -2 & 7 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \qquad
L = \begin{bmatrix}
6 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 \\
10 & 9 & 2
\end{bmatrix} \)
La transpuesta de una matriz m×n \( A \) se denota \( A^T \) con orden n×m y definida por
\[ (A^T)_{ij} = (A)_{ji} \]
La matriz \( A^T \) se obtiene transponiendo (intercambiando) las filas y columnas de la matriz \( A \).
Ejemplo 5
\[ \begin{bmatrix}
6 & 0 \\
-2 & -2\\
10 & 9
\end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix}
6 & -2 & 10 \\
0 & -2 &9\\
\end{bmatrix} \]
Transponga una matriz un número par de veces y obtendrá la matriz original: \( ((A)^T)^T = A \). Transponga la matriz un número impar de veces y obtendrá la matriz transpuesta: \( (((A)^T)^T)^T = A^T \).
La transpuesta de cualquier matriz diagonal cuadrada es la matriz misma.
\[ \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix} \]
Una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos son tales que \( A_{ij} = A_{ji} \) en otras palabras \( A \) es simétrica si \(A = A^T \).
Ejemplo 6
Matrices simétricas
\[ \begin{bmatrix}
4 & -2 & 1 \\
-2 & 5 & 7 \\
1 & 7 & 8
\end{bmatrix} \]
Dadas las matrices:
\[
A = \begin{bmatrix}
-1 & 23 & 10 \\
0 & -2 & -11 \\
\end{bmatrix}
,\quad
B = \begin{bmatrix}
-6 & 2 & 10 \\
3 & -3 & 4 \\
-5 & -11 & 9 \\
1 & -1 & 9
\end{bmatrix}
,\quad
C = \begin{bmatrix}
-3 & 2 & 9 & -5 & 7
\end{bmatrix} \\
D = \begin{bmatrix}
-2 & 6 \\
-5 & 2\\
\end{bmatrix}
,\quad
E = \begin{bmatrix}
3
\end{bmatrix}
,\quad
F = \begin{bmatrix}
3 \\
5 \\
-11 \\
7
\end{bmatrix}
,\quad
G = \begin{bmatrix}
-6 & -4 & 23 \\
-4 & -3 & 4 \\
23 & 4 & 9 \\
\end{bmatrix}
\]
a) ¿Cuál es la dimensión de cada matriz?
b) ¿Qué matrices son cuadradas?
c) ¿Qué matrices son simétricas?
d) ¿Qué matriz tiene la entrada en la fila 3 y la columna 2 igual a -11?
e) ¿Qué matrices tienen la entrada en la fila 1 y la columna 3 igual a 10?
f) ¿Cuáles son las matrices columna?
g) ¿Cuáles son las matrices fila?
h) Encuentra \( A^T , C^T , E^T , G^T \).
1) Dadas las matrices:
\[
A = \begin{bmatrix}
23 & 10 \\
0 & -11 \\
\end{bmatrix}
,\quad
B = \begin{bmatrix}
-6 & 0 & 0 \\
-1 & -3 & 0 \\
-5 & 3 & -9 \\
\end{bmatrix}
,\quad
C = \begin{bmatrix}
-3 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix} \\
,\quad
D = \begin{bmatrix}
-7 & 3 & 2 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 9 \\
\end{bmatrix}
,\quad
E = \begin{bmatrix}
12 & 0 & 0 \\
0 & 23 & 0 \\
0 & 0 & -19\\
\end{bmatrix}
\]
a) ¿Cuáles de las matrices anteriores son diagonales?
b) ¿Cuáles de las matrices anteriores son triangulares inferiores?
c) ¿Cuáles de las matrices anteriores son triangulares superiores?
a) A: 2 × 3, B: 4 × 3, C: 1 × 5, D: 2 × 2, E: 1 × 1, F: 4 × 1, G: 3 × 3,
b) D, E y G
c) E y G
d) B
e) A y B
f) E y F
g) E y C
h)
\[
A^T = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
23 & -2 \\
10 & -11
\end{bmatrix}
,\quad
C^T = \begin{bmatrix}
-3 \\
2\\
9\\-5\\7
\end{bmatrix}
,\quad
E^T = \begin{bmatrix}
3
\end{bmatrix}
,\quad
G^T = \begin{bmatrix}
-6 & -4 & 23\\
-4 & -3 & 4\\
23 & 4 & 9
\end{bmatrix}
\]