Preguntas de matriz inversa con soluciones
Tutoriales que incluyen ejemplos y preguntas con soluciones detalladas sobre cómo encontrar el inverso del cuadrado matrices
utilizando el método de la forma escalonada por filas y el método de los cofactores. Se analizan las propiedades de las matrices inversas y se incluyen varias preguntas, incluidas algunas desafiantes, relacionadas con las matrices inversas junto con sus soluciones detalladas.
Contenido de página
La matriz identidad I n es la matriz cuadrada con orden n x n y con los elementos en la diagonal principal que consisten en 1 y todos los demás elementos son iguales a cero .
Ejemplos de matrices de identidad
Definición de la inversa de una matriz
Sea A una matriz cuadrada de orden n x n. Si existe una matriz B del mismo orden tal que
A B = I n = B A
donde I n es la matriz identidad de orden n x n, entonces B se denomina matriz inversa de A y la matriz A es la matriz inversa de B.
Ejemplo 1
Verifique que las matrices A y B dadas a continuación son inversas entre sí.
Solución
Encontremos los productos AB y BA
AB = BA = I 2 y por lo tanto A y B son inversas entre sí.
La inversa de una matriz cuadrada A se denota como A -1 y es única.
Encuentre la inversa de una matriz cuadrada utilizando el método de reducción por filas
Este método también se llama método de eliminación de Gauss-Jordan.
Primero escribimos la matriz aumentada
\( \) \( \) \( \) \( \)
\[ [ A | I ] \]
donde \( I \) es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A y luego usar operaciones elementales de fila para reescribirla como
\[ [ I | A^{-1} ] \]
donde \( A^{-1} \) es la inversa de la matriz A.
Una calculadora en línea para encontrar la inversa de una matriz usando la fila se incluye la reducción.
Ejemplo 2
Encuentre la inversa de la matriz A dada por
\[ A = \begin{bmatrix}
1&1 \\ 2&4
\end{bmatrix} \]
si existiera..
Solución
Escribe la matriz aumentada \( [ A | I )\)
\[ \begin{bmatrix}
1&1&|&1&0\\2&4&|&0&1
\end{bmatrix} \]
paso 1
\[
\color{red}{\begin{matrix}
\\
R_2 - 2 \times R_1
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&|&1&0\\0&2&|&-2&1
\end{bmatrix} \]
paso 2
\[
\color{red}{\begin{matrix}
\\
(1/2)R_2
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&|&1&0\\0&1&|&-1&1/2
\end{bmatrix} \]
paso 3
\[
\color{red}{\begin{matrix}
R_1 - R_2 \\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&|&2&-1/2\\0&1&|&-1&1/2
\end{bmatrix} \]
El inverso de A es el 2 × 2 matriz en el lado derecho dada por
\[ A^{-1} =
\begin{bmatrix}
2&-1/2\\-1&1/2
\end{bmatrix} \]
Ejemplo 3
Encuentre la inversa de la matriz A dada por
\[
A = \begin{bmatrix}-2&2&0 \\ 2&1&3\\ -2&4&-2\end{bmatrix}
\]
si existiera.
Solución
Escribe la matriz aumentada \( [ A | I )\)
\[ \begin{bmatrix}
-2&2&0&|&1&0&0\\
2&1&3&|&0&1&0 \\
-2 & 4 & -2 &|& 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
paso 1
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
R_2 + R_1 \\
R_3 - R_1
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-2&2&0&|&1&0&0\\
0&3&3&|&1&1&0 \\
0 & 2 & -2 &|& -1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
paso 2
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
\\
R_3 - (2/3) R_2 \\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-2&2&0&|&1&0&0\\
0&3&3&|&1&1&0 \\
0 & 0 & - 4&|& -5/3 & -2/3 & 1
\end{bmatrix} \]
paso 3
\[
\color{red}{
\begin{matrix}
\\
\\
(-1/4)R_3 \\
\end{matrix}}
\begin{bmatrix}
-2&2&0&|&1&0&0\\
0&3&3&|&1&1&0 \\
0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4
\end{bmatrix} \]
paso 4
\[
\color{red}{
\begin{matrix}
\\
R_2 - 3\times R_3 \\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-2&2&0&|&1&0&0\\
0&3&0&|&-1/4&1/2&3/4 \\
0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4
\end{bmatrix} \]
paso 5
\[
\color{red}{
\begin{matrix}
\\
(1/3) R_2 \\
\\
\end{matrix}}
\begin{bmatrix}
-2&2&0&|&1&0&0\\
0&1&0&|&-1/12&1/6&1/4 \\
0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4
\end{bmatrix} \]
paso 6
\[
\color{red}{
\begin{matrix}
R_1- 2\times R_2 \\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
-2&0&0&|&7/6&-1/3&-1/2\\
0&1&0&|&-1/12&1/6&1/4 \\
0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4
\end{bmatrix} \]
paso 7
\[
\color{red}{
\begin{matrix}
(-1/2) R_1 \\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&0&|&-7/12&1/6&1/4\\
0&1&0&|&-1/12&1/6&1/4 \\
0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4
\end{bmatrix} \]
por eso
\[ A^{-1} =
\begin{bmatrix}
-7/12&1/6&1/4\\
-1/12&1/6&1/4 \\
5/12 & 1/6 & -1/4
\end{bmatrix} \]
Más ejemplos sobre cómo encontrar matriz inversa usando operaciones de fila están incluidos.
Encuentre el Inverso de una Matriz Cuadrada Usando Menores, Cofactores y Adjugado
Este método se explica mediante un ejemplo numérico. La matriz A se da a continuación.
\[ A = \begin{bmatrix}
-1&0&1\\
2&-1&2 \\
-1 & 2 & 1
\end{bmatrix} \]
a) Encuentre las matrices de menores y cofactores, la adjunta y la inversa de A.
Matriz de Menores
La entrada \( M_{i,j} \) de la matriz de menores de la matriz A viene dada por el determinante obtenido al eliminar la fila \( i^{th}\) y la \( j^{th}\) columna.
Para encontrar \( M_{1,1} \), elimine la fila 1 y la columna 1 de la matriz A y encuentre el determinante de la matriz restante de 2 por 2 de la siguiente manera:
\( M_{1,1} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
.&-1&2 \\
.& 2 & 1
\end{bmatrix} = -1 - 4 = -5\)
Para encontrar \( M_{1,2} \), elimine la fila 1 y la columna 2 de la matriz A y encuentre el determinante de la matriz restante de 2 por 2 de la siguiente manera:
\( M_{1,2} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
2&.&2 \\
-1 & . & 1
\end{bmatrix} = 2 -(-2) = 4 \)
Para encontrar \( M_{1,3} \), elimine la fila 1 y la columna 3 de la matriz A y encuentre el determinante de la matriz restante de 2 por 2 de la siguiente manera:
\( M_{1,3} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
2&-1&. \\
-1 & 2 & .
\end{bmatrix} = 4 - 1 = 3 \)
Para encontrar \( M_{2,1} \), elimine la fila 2 y la columna 1 de la matriz A y encuentre el determinante de la matriz restante de 2 por 2 de la siguiente manera:
\( M_{2,1} = Det \begin{bmatrix}
.&0&1\\
.&.&. \\
. & 2 & 1
\end{bmatrix} = 0 - 2 = - 2 \)
...
...
Las entradas restantes están dadas por:
\( M_{2,2} = 0 \) , \( M_{2,3} = -2 \) , \( M_{3,1} = 1\) , \( M_{3,2} = -4\) , \( M_{3,3} = 1\).
La matriz de menores M viene dada por
\( M = \begin{bmatrix} -5&4&3\\ -2&0&-2\\ 1&-4&1 \end{bmatrix} \)
Matriz de Cofactores
Las entradas \( C_{i,j} \) de la matriz de cofactores C de la matriz A están dadas por
\( C_{i,j} = (-1)^{i+j}M{i,j} \)
Una evaluación de las entradas \( C_{i,j} \) da:
\( C_{1,1} = (-1)^{1+1} M_{1,1} = -5 \)
\( C_{1,2} = (-1)^{1+2} M_{1,2} = - 4 \)
\( C_{1,3} = (-1)^{1+3} M_{1,3} = 3 \)
\( C_{2,1} = (-1)^{2+1} M_{2,1} = 2 \)
\( C_{2,2} = (-1)^{2+2} M_{2,2} = 0 \)
\( C_{3,1} = (-1)^{3+1} M_{3,1} = 1 \)
\( C_{3,2} = (-1)^{3+2} M_{3,2} = 4 \)
\( C_{3,3} = (-1)^{3+3} M_{3,1} = 1 \)
Por tanto, la matriz C de cofactores está dada por
\( C = \begin{bmatrix} -5&-4&3\\ 2&0&2\\ 1&4&1 \end{bmatrix} \)
Adjugado (o adjunto) de una matriz
El adjunto (o adjunto) de la matriz A es la transpuesta de su matriz de cofactores C.
\( Adyuvante (A) = C^T = \begin{bmatrix} -5&2&1\\ -4&0&4\\ 3&2&1 \end{bmatrix} \)
Matriz inversa
Ahora necesitamos encontrar el determinante D de la matriz A.
Usando la primera fila de la matriz A y los menores correspondientes ya encontrados, D viene dado por
\( D = det\begin{bmatrix}
-1&0&1\\
2&-1&2 \\
-1 & 2 & 1
\end{bmatrix} = A_{11}M_{1,1} - A_{1,2}M_{1,2} + A_{1,3}M_{1,3} = 8\)
La inversa de \( A \) viene dada por
\( A^{-1} = \dfrac{1}{D} C^T = \dfrac{1}{8} \begin{bmatrix} -5&2&1\\ -4&0&4\\ 3&2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{5}{8}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{8}\\ -\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{3}{8}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{8}\end{bmatrix}\)
Fórmula para la inversa de una matriz de 2 por 2
Usando cualquiera de los dos métodos descritos anteriormente, se puede demostrar que la inversa de la matriz A dada por
\[ A = \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d \\
\end{bmatrix} \]
is given by
\[ A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a \\
\end{bmatrix} \]
Propiedades de Matrices Inversas
Una matriz que tiene una inversa se llama matriz invertible.
- Si A es una matriz invertible, su inversa es única.
- \( A A^{-1} = A^{-1} A = I \)
- Si las matrices A y B son invertibles, entonces:\( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)
- Una matriz es invertible si y solo si su determinante no es igual a cero.
- Una matriz cuyo determinante no es igual a cero se llama no singular.
- \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)
- \( Det(A^{-1}) = \dfrac{1}{Det(A)} \)
- \( (A^{-1})^{-1} = A \)
Preguntas sobre Matrices Inversas
- Pregunta 1
Use el método de reducción por filas para encontrar el inverso de las siguientes matrices:
\( A =
\begin{bmatrix}
-1&-1&1\\
2&0&-2 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix} \)
,
\( B =
\begin{bmatrix}
1&0&1&2\\
-1& 1 & 2 & 0 \\
-2& 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
- Pregunta 2
Usa el método de los cofactores para encontrar la inversa de la siguiente matriz.
\( A =
\begin{bmatrix}
-1&0&3\\
3&2&2 \\
0& 0 & 1
\end{bmatrix} \)
- Pregunta 3
A, B y C son matrices de 2 por 2. Las matrices B y C están dadas por:
\[ B =
\begin{bmatrix}
-1&-1\\
-2& 1
\end{bmatrix} , C =
\begin{bmatrix}
2 & -1\\
-2 & 2
\end{bmatrix} \]
Encuentre la matriz A tal que AB = C.
- Pregunta 4
¿Para qué valor(es) de k es invertible cada una de las matrices dadas a continuación?
a) \(
\begin{bmatrix}
k & -1 & 4\\
2 & 0 & 1\\
-1 & 0 & -1
\end{bmatrix} \) , b) \( \begin{bmatrix}
k & -1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix} \) , c) \(
\begin{bmatrix}
k & -1 & 4\\
0 & k + 1 & 1\\
0 & 0 & k -3
\end{bmatrix} \)
- Pregunta 5
Las matrices cuadradas P, Q, R y S son de la misma dimensión e invertibles tales que
\[ P = Q R^{-1} S \]
Expresar (o determinar) \( R\) en términos de \( P \), \( Q\) y \( S \) o/y sus inversas.
- Pregunta 6
La matriz A está dada por
\( A =
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & 0\\
0 & b & 0 & 0 \\
0 & 0 & c & 0\\
0 & 0 & 0 & d
\end{bmatrix} \)
Encuentre una fórmula para la inversa de la matriz A si ninguno de los parámetros a, b, c y d es igual a cero.
- Pregunta 7
Usa la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones
\(
\begin{bmatrix}
1&0&1&2\\
-1& 1 & 2 & 0 \\
-2& 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2 \\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0\\
1 \\
-1\\
2
\end{bmatrix}
\)
- Pregunta 8
¿Cuál es el método más eficiente para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones?
\( A X_1 = B_1 \) , \( A X_2 = B_2 \) , \( A X_3 = B_3 \) ... \( A X_i = B_i \)
- Pregunta 9
A y B son matrices invertibles de la misma dimensión relacionadas por: \( A^{-1} = A B \).
Encuentre B en términos de A o su inversa.
- Pregunta 10
1) Dé un ejemplo de matrices A y B de 2 por 2 tales que ni A ni B sean invertibles pero A + B sí lo sea.
2) Dé un ejemplo de matrices A y B de 2 por 2 tales que ni A ni B sean invertibles, pero A - B es invertible.
- Pregunta 11
Use cualquiera de los dos métodos para encontrar una fórmula para el inverso de una matriz de 2 por 2 (ya se da arriba sin prueba).
- Pregunta 12
El sistema de ecuaciones en forma matricial
\( A X = B \)
tiene las siguientes soluciones:
\( X_1 = \begin{bmatrix}
-1\\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\) for \( B_1 = \begin{bmatrix}
2\\
13 \\
3
\end{bmatrix} \) , \( X_2 = \begin{bmatrix}
0\\
-1 \\
1
\end{bmatrix}
\) for \( B_2 = \begin{bmatrix}
4\\
2 \\
2
\end{bmatrix} \) ,
\( X_3 = \begin{bmatrix}
1\\
1 \\
1
\end{bmatrix}
\) for \( B_3 = \begin{bmatrix}
4\\
5 \\
3
\end{bmatrix} \).
Encuentra X para \( B = \begin{bmatrix}
1\\
-9 \\
-1
\end{bmatrix} \).
Soluciones a las preguntas anteriores
- Solución a la pregunta 1
Inversa de la matriz A
Escribe la matriz aumentada \( [ A | I ] \)
\[ \begin{bmatrix}
-1&-1&1&|&1&0&0\\
2&0&-2&|&0&1&0 \\
1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
paso 1
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
-R_1\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
2&0&-2&|&0&1&0 \\
1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
paso 2
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
R_2-2R_1 \\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
0&-2&0&|&2&1&0 \\
1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
paso 3
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
\\
R_3-R_1\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
0&-2&0&|&2&1&0 \\
0 & 0 & 2 &|& 1 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
paso 4
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
R_2=(-1/2)R_2\\
R_3=(1/2)R_3\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&-1&|&-1&0&0\\
0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\
0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
paso 5
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1+R_3\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&1&0&|&-1/2&0&1/2\\
0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\
0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
paso 6
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1-R_2\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&0&|&1/2&1/2&1/2\\
0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\
0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
La inversa de la matriz A es la matriz de 3 por 3 del lado derecho. Por eso
\[ A^{-1} = \begin{bmatrix}
1/2&1/2&1/2\\
-1&-1/2&0 \\
1/2 & 0 & 1/2
\end{bmatrix} \]
Inversa de la matriz B
Escribe la matriz aumentada \( [ B | I ]\)
\[ \begin{bmatrix}
1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\
-1& 1 & 2 & 0 &|&0&1&0&0 \\
-2& 0 & 1 & 2 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
paso 1
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
R_2+R_1\\
R_3+2R_1\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\
0& 1 & 3 & 2 &|&1&1&0&0 \\
0& 0 & 3 & 6 &|& 2 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
paso 2
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
\\
\\
(1/3) R_3\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\
0& 1 & 3 & 2 &|&1&1&0&0 \\
0& 0 & 1 & 2 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
paso 3
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1-2R_4\\
R_2-2R_4\\
R_3-2R_4\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&0 & |&1&0&0&-2\\
0& 1 & 3 & 0 &|&1&1&0&-2 \\
0& 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
paso 4
\[
\color{red}{ \begin{matrix}
R_1-R_3\\
R_2-3R_3\\
\\
\\
\end{matrix} }
\begin{bmatrix}
1&0&1&0 & |&1/3&0&-1/3&0\\
0& 1 & 0 & 0 &|&-1&1&-1&4 \\
0& 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
La inversa de la matriz B es la matriz de 4 por 4 del lado derecho. Por eso
\[ B^{-1} = \begin{bmatrix}
1/3&0&-1/3&0\\
-1&1&-1&4 \\
2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
- Solución a la pregunta 2
Primero encontramos a los menores.
\( M_{1,1} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
.&2&2 \\
.& 0 & 1
\end{bmatrix} = 2\) ,
\( M_{1,2} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
3&.&2 \\
0& . & 1
\end{bmatrix} = 3\) ,
\( M_{1,3} = Det \begin{bmatrix}
.&.&.\\
3&2&. \\
0& 0 & .
\end{bmatrix} = 0 \)
\( M_{2,1} = Det \begin{bmatrix}
.&0&3\\
.&.&. \\
.& 0 & 1
\end{bmatrix} = 0\) ,
\( M_{2,2} = Det \begin{bmatrix}
-1&.&3\\
. & . & . \\
0& . & 1
\end{bmatrix} = -1\) ,
\( M_{2,3} = Det \begin{bmatrix}
-1&0&.\\
. & . & .\\
0& 0 & .
\end{bmatrix} = 0\)
\( M_{3,1} = Det \begin{bmatrix}
.&0&3\\
.&2&2 \\
. & . & .
\end{bmatrix} = - 6\) ,
\( M_{3,2} = Det \begin{bmatrix}
-1&.&3\\
3&.&2 \\
. & . & .
\end{bmatrix} = - 11\) ,
\( M_{3,3} = Det \begin{bmatrix}
-1&0& .\\
3&2& . \\
. & . & .
\end{bmatrix} = - 2\)
Matriz C de cofactores cuyas entradas definidas se definen como
\( C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j} \)
\[ C = \begin{bmatrix}
2&-3&0\\
0&-1&0 \\
- 6 & 11 & -2
\end{bmatrix} \]
Necesitamos encontrar D el determinante de A usando la tercera fila (¡tiene 2 ceros!)
\( D = A_{3,3} M_{3,3} = - 2 \)
La inversa de A está dada por
\( A^{-1} = \dfrac{1}{D} C^T = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2&0&-6\\ -3&-1&11\\ 0&0&-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&0&3\\ \dfrac{3}{2}& \dfrac{1}{2} & -\dfrac{11}{2}\\ 0&0&1\end{bmatrix}\)
- Solución a la pregunta 3
Dada
\( A B = C \)
A la derecha multiplica ambos lados por \( B^{-1} \)
\( A B B^{-1} = C B^{-1}\)
Usa la asociatividad en el lado izquierdo
\( A (B B^{-1}) = C B^{-1} \)
Simplificar
\( A I = C B^{-1} \)
\( A = C B^{-1} \)
Use la fórmula para el inverso de una matriz de 2 por 2 para encontrar el inverso de B.
\( Det(B) = -3 \)
\( B^{-1} = - \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix}
1&1\\
2& -1
\end{bmatrix} \)
\( A = C B^{-1} = \begin{bmatrix}
2 & -1\\
-2 & 2
\end{bmatrix} (- \dfrac{1}{3}) \begin{bmatrix}
1&1\\
2& -1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0&-1\\
-2/3& 4/3
\end{bmatrix}\)
Nota: puede comprobar la respuesta de la matriz A sustituyendo en la ecuación \( A B = C \)
- Solución a la pregunta 4
Una matriz es invertible si su determinante no es igual a cero.
a) Utilizando la segunda columna,
Det\(
\begin{bmatrix}
k & -1 & 4\\
2 & 0 & 1\\
-1 & 0 & -1
\end{bmatrix} = - 1\)
La matriz es invertible para cualquier k real
b) Det\( \begin{bmatrix}
k & -1 \\
-1 & 3
\end{bmatrix} = 3k - 1\)
\( 3k - 1 \ne 0 \)
\( k \ne 1/3 \)
La matriz del apartado b) es invertible para todos los valores reales de k distintos de 1/3.
c) La matriz dada es una matriz triangular superior y su determinante es igual al producto de los términos en la diagonal de izquierda a derecha.
Det \(
\begin{bmatrix}
k & -1 & 4\\
0 & k + 1 & 1\\
0 & 0 & k -3
\end{bmatrix} k(k+1)(k-3)\)
\( k(k+1)(k-3) \ne 0 \)
La matriz dada es invertible si k no es igual a 0, - 1 o 3.
- Solución a la pregunta 5
Multiplica a la derecha los dos lados de la ecuación por \( S^{-1} \)
\( P S^{-1} = Q R^{-1} S S^{-1} \)
simplificar
\( P S^{-1} = Q R^{-1} I \)
\( P S^{-1} = Q R^{-1} \)
Multiplica a la izquierda los dos lados de la ecuación por \( Q^{-1} \)
\( Q^{-1} P S^{-1} = Q^{-1} Q R^{-1} \)
simplificar
\( Q^{-1} P S^{-1} = I R^{-1}\)
\( Q^{-1} P S^{-1} = R^{-1} \)
Toma el inverso de ambos lados
\( (Q^{-1} P S^{-1})^{-1} = (R^{-1})^{-1} \)
simplificar
\( R = S P^{-1} Q \)
- Solución a la pregunta 6
Escribe la matriz aumentada \( [ A | I ]\)
\( \begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & 0&|&1&0&0&0\\
0 & b & 0 & 0&|&0&1&0&0 \\
0 & 0 & c & 0 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & d &|& 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
Multiplique la fila (1) por 1/a, la fila (2) por 1/b, la fila (3) por 1/c y la fila (4) por 1/d y simplifique
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0&|&1/a&0&0&0\\
0 & 1 & 0 & 0&|&0&1/b&0&0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & 0 & 1/c & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & 0 & 1/d
\end{bmatrix} \)
La inversa de la matriz dada es
\( A^{-1} = \begin{bmatrix}
1/a&0&0&0\\
0&1/b&0&0 \\
0 & 0 & 1/c & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/d
\end{bmatrix} \)
- Solución a la pregunta 7
El sistema es de la forma
A X = B with A = \(
\begin{bmatrix}
1&0&1&2\\
-1& 1 & 2 & 0 \\
-2& 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \) , \( B =\begin{bmatrix}
0\\
1 \\
-1\\
2
\end{bmatrix}
\) and \( X = \begin{bmatrix}
x_1\\
x_2 \\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix} \)
Multiplique a la derecha ambos lados de la ecuación por \( A^{-1} \) y simplifique.
\( A^{-1} A X = A^{-1} B \)
\( I_3 X = A^{-1} B , I_3 \) es la matriz identidad de 3 por 3
Simplifica lo anterior
\( X = A^{-1} B \)
La inversa de la matriz A se calculó en la pregunta 1 y viene dada por (es la matriz B en la pregunta 1)
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3&0&-1/3&0\\
-1&1&-1&4 \\
2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)
\( \begin{bmatrix}
x_1\\
x_2 \\
x_3\\
x_4
\end{bmatrix} = A^{-1} B = \begin{bmatrix} 1/3&0&-1/3&0\\
-1&1&-1&4 \\
2/3 & 0 & 1/3 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0\\
1 \\
-1\\
2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{1}{3}\\ 10\\ -\dfrac{13}{3}\\ 2\end{bmatrix}\)
- Solución a la pregunta 8
Dado que la matriz A es común a todos los sistemas dados, el método más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones de la forma
\( A X_1 = B_1 \) , \( A X_2 = B_2 \) , \( A X_3 = B_3 \) ... \( A X_2 = B_i \)
es encontrar la inversa de la matriz A y resolver de la siguiente manera (ver pregunta 7 arriba)
\( X_1 = A^{-1} B_1 \) , \( X_2 = A^{-1} B_2 \) , \( X_3 = A^{-1} B_3 \) ... \( X_i = A^{-1} B_i \)
- Solución a la pregunta 9
A y B son matrices invertibles de la misma dimensión relacionadas por: \( A^{-1} = A B \).
Encuentre B en términos de A o su inversa.
Multiplique la ecuación por la derecha por \( A^{-1} \)
\( A^{-1} A^{-1} = A^{-1} A B \)
simplificar
\( A^{-1} A^{-1} = I B \)
simplificar a
\( B = A^{-2}\)
- Solución a la pregunta 10
Hay muchas respuestas posibles a ambas partes de esta pregunta.
1)
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\
0 & 0 \\
\end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\
- 1 & 1 \\
\end{bmatrix} \) ,
\(A + B = \begin{bmatrix} 1 & 1\\
- 1 & 0 \\
\end{bmatrix} \)
2) \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1\\
0 & 0 \\
\end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\
- 1 & 4 \\
\end{bmatrix} \) ,
\(A - B = \begin{bmatrix} 3 & 1\\
1 & - 4 \\
\end{bmatrix} \)
Comprobar que el determinante de las matrices A y B es igual a cero y por tanto no invertible. Comprueba que los determinantes de A + B y A - B no son iguales a cero y por lo tanto invertibles.
- Solución a la pregunta 11
Dejar \(A = \begin{bmatrix} a & b\\
c & d \\
\end{bmatrix} \)
Utilizaremos el método de los cofactores. Primero calculamos los menores
\( M_{1,1} = d\) , \( M_{1,2} = c\) , \( M_{2,1} = b\) , \( M_{2,2} = a\)
Luego los cofactores usando la fórmula: \( C_{i,j} = (-1)^{i+j}M_{i,j} \)
\( C_{1,1} = d\) , \( C_{1,2} = - c\) , \( C_{2,1} = - b\) , \( C_{2,2} = a\)
La determinante de A es
\( D = a d - b c \)
\( A^{-1} = \dfrac{1}{a d - b c} \begin{bmatrix} d & - c\\
- d & a \\
\end{bmatrix}^T = \dfrac{1}{a d - b c} \begin{bmatrix} d & - d\\
- c & a \\
\end{bmatrix} \)
- Solución a la pregunta 12
Las soluciones se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera
\( A \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix} \)
lo que da
\( A = \begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}^{-1} \)
lo que da
\( A^{-1} =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix}^{-1}
\)
La solución X está dada por
\( X = A^{-1} B = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
2 & - 1 & 1\\
3 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5 & 4 & 4\\
17 & 2 & 5\\
5 & 2 & 3
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
1\\
-9 \\
-1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1\\
-2 \\
-1
\end{bmatrix} \)
Más Referencias y Enlaces a Matrices