Presentamos ejemplos sobre cómo encontrar la inversa de una matriz utilizando las operaciones de tres filas que se enumeran a continuación:
Sea A un n × n matriz. Si la matriz A-1 es la inversa de la matriz A , entonces tenemos
A A-1 = In = A-1 A
donde In es n × n matriz de identidad[ In | A-1 ]
donde el inverso A-1 es el n × n en el lado derecho de la matriz aumentada [ In | A-1 ].
Ejemplo 1
Encuentra la inversa de la matriz
Solución al ejemplo 1
Escribe la matriz aumentada [ A | I2 ]
Sean R1 y R2 el primero y el segundo filas de la matriz aumentada anterior.
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada de fila reducida
La matriz aumentada anterior tiene la forma [ I2 | A-1 ] y, por lo tanto, A-1 viene dado por
Ejemplo 2
Encuentra la inversa de la matriz
Solución al ejemplo 2
Escribe la matriz aumentada [ A | I3 ]
Sean R1, R2 y R3 sea la primera, la segunda y la tercera fila respectivamente de la matriz aumentada anterior.
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada de fila reducida .
\( \)\( \)\( \)
La matriz aumentada anterior tiene la forma \( [ I_3 | A^{-1} ] \) y por lo tanto \( A^{-1} \) está dada por
\( A^{-1} = \begin{bmatrix}
-\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
2 & -1 & 1 \\
-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 3
Encuentra la inversa de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & -1 & 1\\
2 & 2 & 0 & -2\\
1 & 1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\).
Solución al ejemplo 3
Escribe la matriz aumentada \( [ A | I_4 ] \)
\( \begin{bmatrix}
0 & 1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\
2 & 2 & 0 & -2 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & -2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\)
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada de fila reducida .
Intercambio \( R_1 \) y \( R_3 \)
Intercambio \( R_2 \) and \( R_4 \)
La matriz aumentada anterior tiene la forma \( [ I_4 | A^{-1} ] \) y por lo tanto \( A^{-1} \) está dada por
\( A^{-1} = \begin{bmatrix}
-4 & -2 & 5 & 3 \\
2 & 1 & -2 & -1 \\
-1 & -1/2 & 1 & 1 \\
-2 & -3/2 & 3 & 2
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 4
Encuentra la inversa de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 3 \\
1 & 4 & 6
\end{bmatrix}
\).
Solución al ejemplo 4
Escribe la matriz aumentada \( [ A | I_3 ] \)
\( \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\
1 & 4 & 6 & | & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)
Escriba la matriz aumentada anterior en forma escalonada de fila reducida .
\(
\begin{matrix}
\\
\\
\color{red}{R_3 - R_1}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\
0 & 2 & 6 & | & -1 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\)
\(
\begin{matrix}
\\
\\
\color{red}{R_3 - 2 R_2}\\
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & | & -1 & -2 & 1 \\
\end{bmatrix}
\)
La última fila de la matriz original (en el lado izquierdo) es todo ceros y, por lo tanto, las filas en la matriz original \( A \) no son linealmente independientes y, por lo tanto, la matriz dada NO es invertible.