Preguntas de valores propios y vectores propios con soluciones
Ejemplos y preguntas sobre los valores y vectores propios de matrices cuadradas junto con sus soluciones se presentan. Las propiedades de los valores propios y sus vectores propios correspondientes también se analizan y utilizan para resolver preguntas.
Contenido de página
Definición de valores propios y vectores propios
Sea A un n × n matriz cuadrada. Si existe una solución del vector columna X no trivial (no todos ceros) para la ecuación matricial A X = λ X; donde λ es un escalar, entonces X se llama vector propio de la matriz A y el valor correspondiente de λ se llama valor propio de la matriz A.
Reescribamos la ecuación matricial en forma estándar:
A X - λ X = 0
Sea I el n × n matriz de identidad y sustituya X por I X en la ecuación anterior
A X - λ I X = 0
Reescribir como
(A - λ I) X = 0
La ecuación matricial anterior tiene soluciones no triviales si y solo si el determinante de la matriz (A - λ I) es igual a cero. Det(A - λ I) = 0 se denomina ecuación característica de A.
Si A es una matriz de n por n, cuando se expande (A - λ I) , es un polinomio de grado n y por lo tanto ( A - λ I) se denomina polinomio característico de A.
Ejemplos con soluciones en valores propios y vectores propios
Ejemplo 1
Encuentre todos los valores propios y vectores propios de la matriz
Solución
Primero calculamos los valores propios y luego los vectores propios.
Buscar valores propios
sustituimos
A, λ y I
en la matriz A - λ I de la siguiente manera
Resuelve la ecuación
Det( A - λ I) = 0
Calcular el determinante y sustituir en la ecuación anterior
(-2 - λ)(-3 - λ) - 12 = 0
Expandir y reescribir como
λ2 +5 λ - 6 = 0
Resuelva la ecuación cuadrática anterior para encontrar dos valores propios
λ = 1 y λ = -6
\( \) \( \) \( \) \( \)
Buscar vectores propios
Vectores propios para \( \lambda = 1 \)
Sustituye \( \lambda \) por 1 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \)
\( \left( \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
12 & -3
\end{bmatrix} - 1 \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \right) X = 0 \)
Simplifica lo anterior
\( \begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
12 & -4
\end{bmatrix} X = 0 \)
Sea \( X = \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} \) Y reescribe la ecuación matricial anterior como
\( \begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
12 & -4
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} = 0 \)
Multiplique la ecuación de arriba por 4 y súmela a la segunda ecuación y reescriba el sistema de ecuaciones de la siguiente manera
\( \begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} = 0 \)
Una solución para \( x_2 \) podría escribirse como \( x_2 = t\) donde t toma todos los números reales.
Usa la ecuación superior
\( - 3 x_1 + x_2 = 0 \)
para encontrar \(x_1\) de la siguiente manera
\(x_1 = \dfrac{x_2}{3} \)
sustituir \( x_2 \) por t para obtener
\( x_1 = \dfrac{1}{3} t \)
Por lo tanto, el vector propio X correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) puede escribirse como
\( X = t \begin{bmatrix}
\dfrac{1}{3} \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
Vectores propios para \( \lambda = -6 \)
Sustituye \( \lambda \) por 6 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \)
\( \left( \begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
12 & -3
\end{bmatrix} -( - 6) \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \right) X = 0 \)
que puede simplificarse a
\( \left( \begin{bmatrix}
4 & 1 \\
12 & 3
\end{bmatrix} \right) X = 0 \)
Resta 3 veces la fila superior de la segunda fila para obtener
\( \left( \begin{bmatrix}
4 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} \right) X = 0 \)
Una solución para \( x_2 \) podría escribirse como \( x_2 = t\) donde t toma todos los números reales.
Usa la ecuación superior
\( 4 x_1 + x_2 = 0 \)
para encontrar \(x_1\) de la siguiente manera
\( x_1 = - \dfrac{x_2}{4} \)
sustituir \( x_2 \) por t para obtener
\( x_1 = - \dfrac{1}{4} t \)
Por lo tanto, el vector propio X correspondiente al valor propio \( \lambda = - 6 \) puede escribirse como
\( X = t \begin{bmatrix}
- \dfrac{1}{4} \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
Ejemplo 2
Encuentre todos los valores propios y vectores propios de la matriz
\[ A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 1
\end{bmatrix} \]
Solución
Buscar valores propios
Primero encontramos la matriz \( A - \lambda I \).
\( A - \lambda I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
-2 & 2 & 1
\end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 - \lambda & 0 & -1 \\
1 & - \lambda & 0 \\
-2 & 2 & 1 - \lambda
\end{bmatrix}\)
Escribe la ecuación característica.
\( Det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(-\lambda(1-\lambda)) - 1(2 - 2\lambda) = 0 \)
factorizar y reescribir la ecuación como
\( (1 - \lambda)(\lambda - 2)(\lambda+1) = 0 \)
que da 3 soluciones
\( \lambda = - 1 , \lambda = 1 , \lambda = 2 \)
Buscar vectores propios
Vectores propios para \( \lambda = - 1 \)
Sustituir \( \lambda \) por - 1 en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \) con \( X = \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}
2 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-2 & 2 & 2
\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0 \)
Fila reducir a forma escalonada da
\( \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0 \)
Las soluciones del sistema anterior y están dadas por
\( x_3 = t , x_2 = -t/2 , x_1 = t/2, t \in \mathbb{R} \)
Por tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = -2 \) está dado por
\( X = t \begin{bmatrix}
1/2 \\
-1/2 \\
1
\end{bmatrix} \)
Vectores propios para \( \lambda = 1 \)
Sustituye \( \lambda \) por \( 1 \) en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \).
\( \begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 \\
1 & - 1 & 0 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0 \)
Fila reducir a forma escalonada da
\( \begin{bmatrix}
1 & - 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0 \)
Las soluciones del sistema anterior y están dadas por
\( x_3 = 0 , x_2 = t , x_1 = t , t \in \mathbb{R} \)
Por tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) está dado por
\( X = t \begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Vectores propios para \( \lambda = 2 \)
Sustituye \( \lambda \) por \( 2 \) en la ecuación matricial \( (A - \lambda I) X = 0 \)
\( \begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
0& - 2 & 0 \\
-2 & 2 & -1
\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0 \)
Fila reducir a forma escalonada da
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0 \)
Las soluciones del sistema anterior y están dadas por
\( x_3 = t , x_2 = -t/2 , x_1 = - t , t \in \mathbb{R} \)
Por tanto, el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda = 1 \) está dado por
\( X = t \begin{bmatrix}
-1 \\
-1/2 \\
1
\end{bmatrix} \)
Eigenvalues of Triangular Matrices
encontremos los valores propios de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
b & c & d \\
0 & e & f \\
0 & 0 & g
\end{bmatrix} \)
La ecuación característica viene dada por
\( Det (A - \lambda I) = Det \begin{bmatrix}
b - \lambda & c & d \\
0 & e -\lambda & f \\
0 & 0 & g - \lambda
\end{bmatrix} = (b - \lambda)(e - \lambda)(g - \lambda) = 0 \)
Los valores de los valores propios para una matriz triangular son iguales a las entradas en la matriz triangular dada. En este ejemplo, los valores propios son: a, e y g.
Valores propios de la potencia de una matriz
Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A, entonces podemos escribir
\( AX = \lambda X \), donde X es el vector propio correspondiente al valor propio \( \lambda \).
Multiplique a la izquierda ambos lados de la ecuación anterior por la matriz A.
\( A (A X) = A (\lambda X) \)
simplificar a
\( A^2 X = A (\lambda X) = \lambda (A X)\)
Sustituye \( A X \) en el lado derecho por \( \lambda X \) para obtener
\( A^2 X = \lambda^2 X\)
Podemos seguir multiplicando por A y simplificando para obtener
\( A^n X = \lambda^n X\)
Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A y X el vector propio correspondiente, entonces \( \lambda^n \) es un valor propio de la matriz \( A ^n\) y X su vector propio correspondiente.
Videos en Encuentre vectores propios y valores propios de una matriz de 2 por 2 en vídeo y Buscar vectores propios y Valores propios de una matriz de 3 por 3 en video
Propiedades de valores propios y vectores propios
- La matriz A es singular si y solo si \( \lambda = 0 \) es un valor propio de la matriz A.
o
Si la matriz A es invertible, entonces ninguno de sus valores propios es igual a cero.
- Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A y X el vector propio correspondiente, entonces el valor propio de la matriz \( A ^n\) es igual a \( \lambda^n \) y el vector propio correspondiente es X.
- El producto de todos los valores propios de una matriz es igual a su determinante.
- La suma de todos los valores propios de una matriz es igual a su traza (la suma de todas las entradas en la diagonal principal). Puede consultar los ejemplos anteriores.
- Los valores propios de la matriz A y su transponer son iguales.
- Si A es una matriz cuadrada invertible con \( \lambda \) su valor propio y X su vector propio correspondiente, entonces \( 1/\lambda \) es un valor propio de \( A^{-1} \) y X es un vector propio correspondiente.
- Si \( \lambda \) es un valor propio de la matriz A y X un valor propio correspondiente, entonces \( \lambda - t \) , donde t es un escalar, es un valor propio de \( A - t I \) y X es un vector propio correspondiente.
Preguntas
- Parte 1
1) Encuentre todos los valores propios y sus vectores propios correspondientes para las matrices:
a) \( A = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 2
\end{bmatrix} \) , b) \( B = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \)
Parte 2
1) Encuentre todos los valores de los parámetros p y q para los cuales la matriz \( A = \begin{bmatrix}
2 & p\\
2 & q
\end{bmatrix} \) tiene valores propios iguales a -1 y -3.
2) Encuentre todos los valores de los parámetros p para los cuales la matriz \( A = \begin{bmatrix}
1 & -33 & -1\\
0 & p - 1 & 3 \\
0 & 0 & p + 1
\end{bmatrix} \) tiene valores propios iguales a 1, 2 y 3.
- Parte 3
Matrix \( A = \begin{bmatrix}
1 & - 1\\
2 & p
\end{bmatrix} \) , donde p es un parámetro, tiene un vector propio \( X = \begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix} \). Encuentre todos los valores propios y vectores propios de la matriz A.
- Parte 4
Matrix \( A = \begin{bmatrix}
a & b\\
1 & -1
\end{bmatrix} \) tiene valores propios 3 y 4. Encuentra los vectores propios de la matriz A.
- Parte 5
Una matriz \( A \) de 3 por 3 tiene valores propios 1, 2 y 3 y sus vectores propios correspondientes \( \begin{bmatrix}
1\\
0 \\
1
\end{bmatrix} \), \( \begin{bmatrix}
0\\
-1 \\
1
\end{bmatrix} \) and \( \begin{bmatrix}
1/2\\
1 \\
0
\end{bmatrix} \). Find the product \( A \begin{bmatrix}
3\\
-1 \\
2
\end{bmatrix} \).
- Parte 6
La matriz \( A \) tiene valores propios 2 y 3 y sus vectores propios correspondientes \( \begin{bmatrix}
-1\\
1
\end{bmatrix} \) and \( \begin{bmatrix}
-1/2\\
1
\end{bmatrix} \).
Encuentre los valores propios y los vectores propios correspondientes de \( A^{-3} \).
- Parte 1
Matriz A
\( A - \lambda I = \begin{bmatrix}
1 - \lambda & 0\\
-1 & 2-\lambda
\end{bmatrix} \)
Ecuación característica
\( (1-\lambda)(2-\lambda) = 0 \)
Los valores propios son soluciones de la ecuación anterior; hay dos soluciones.
\( \lambda = 1 \) and \( \lambda = 2 \)
- Vectores propios para \( \lambda = 1 \)
\( A - \lambda I = \begin{bmatrix}
0 & 0\\
-1 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} = 0\)
El vector propio es la solución del sistema anterior que se puede escribir como
\( \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} = t \begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
Vectores propios para \( \lambda = 2 \)
\( A - \lambda I = \begin{bmatrix}
-1 & 0\\
-1 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} = 0\)
El vector propio es la solución del sistema anterior que se puede escribir como
\( \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} = t \begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
Matriz B
\( B - \lambda I = \begin{bmatrix}
-1 - \lambda & 1 & 1\\
2 & 1 -\lambda & 1 \\
1 & 0 & -\lambda
\end{bmatrix} \)
Usando la última fila para encontrar el determinante, la ecuación característica
\( - \lambda^3 + 4\lambda = 0 \)
Los valores propios son soluciones de la ecuación anterior y vienen dados por:
\( \lambda = 0 \) , \( \lambda = 2 \) and \( \lambda = - 2 \)
Vectores propios para \( \lambda = 0 \)
\( B - \lambda I = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0 \)
Reescribir en forma escalonada de filas
\( \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0\)
El vector propio es la solución del sistema anterior que se puede escribir como
\( \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = t \begin{bmatrix}
0 \\
-1 \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
Vectores propios para \( \lambda = 2 \)
\( B - \lambda I = \begin{bmatrix}
-3 & 1 & 1\\
2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0\)
Reescribir en forma escalonada de filas
\( \begin{bmatrix}
1 & 0 & - 2\\
0 & - 1 & 5 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0\)
El vector propio es la solución del sistema anterior que se puede escribir como
\( \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = t \begin{bmatrix}
2 \\
5 \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
Vectores propios para \( \lambda = - 2 \)
\( B - \lambda I = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0\)
Reescribir en forma escalonada de filas
\( \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = 0\)
El vector propio es la solución del sistema anterior que se puede escribir como
\( \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = t \begin{bmatrix}
-2 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
- Parte 2
\( A - \lambda I = \begin{bmatrix}
2 - \lambda & p\\
2 & q -\lambda
\end{bmatrix} \)
La ecuación característica viene dada por
\( (2 - \lambda)(q - \lambda ) - 2p = 0 \)
Los valores propios se dan como -1 y -3 y son soluciones a la ecuación característica. Sustituye \( \lambda \) por - 1 y -3 para obtener un sistema de ecuaciones en p y q.
\( 3(q + 1 ) - 2p = 0 \) y \( 5(q + 3 ) - 2p = 0 \)
Resuelva el sistema para obtener p = -15/2 y q = -6.
- Parte 3
Sea \( \lambda \) el valor propio correspondiente al vector propio dado. Por eso
\( \begin{bmatrix}
1 & - 1\\
2 & p
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix} \)
Use la ecuación matricial anterior para escribir un sistema de ecuaciones en p y \( \lambda \) de la siguiente manera:
\( 1 + 1 = \lambda \) y \( 2 - p = - \lambda \)
Resolver para obtener
p = 4 y \( \lambda = 2 \)
Podemos escribir la matriz A como
\( A = \begin{bmatrix}
1 & - 1\\
2 & 4
\end{bmatrix} \)
El producto de los valores propios es igual al determinante de A (propiedad 3 anterior). Por eso
\( Det (A) = 4 + 2 = 2 \lambda \)
da el segundo valor propio como
\( \lambda = 3 \)
El vector propio correspondiente a \( \lambda = 3 \) viene dado por
\( \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} = t \begin{bmatrix}
-1/2 \\
1
\end{bmatrix} , t \in \mathbb{R} \)
- Parte 4
El producto de los valores propios es igual al determinante de A. Por lo tanto
\( Det (A) = - a - b = 3 (4) = 12 \)
La suma de los valores propios es igual a la traza. Por eso
a - 1 = 3 + 4 = 7
Resuelva las dos ecuaciones en a y b simultáneamente para encontrar
a = 8 and b = -20
Por lo tanto, la matriz A está dada por
\( A = \begin{bmatrix}
8 & -20\\
1 & -1
\end{bmatrix} \)
y sus vectores propios de están dados por: \( \begin{bmatrix}
4\\
1
\end{bmatrix} \) and \( \begin{bmatrix}
5\\
1
\end{bmatrix} \).
- Parte 5
Combine los tres valores propios y vectores propios para escribir
\( A \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/2\\
0 & -1 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix}
1\\
0 \\
1
\end{bmatrix} & 2 \begin{bmatrix}
0\\
-1 \\
1
\end{bmatrix} & 3\begin{bmatrix}
1/2\\
1 \\
0
\end{bmatrix} \end{bmatrix} \)
Por eso
\( A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 3/2\\
0 & -2 & 3 \\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/2\\
0 & -1 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1}\)
que luego da
\( A \begin{bmatrix}
3\\
-1 \\
2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 3/2\\
0 & -2 & 3 \\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1/2\\
0 & -1 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}
3\\
-1 \\
2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\ -6\\ -1\end{bmatrix}\)
- Parte 6
De acuerdo con la propiedad 6 anterior, los valores propios de \( A^{-1} \) son 1/2 y 1/3 y los vectores propios correspondientes son
\( \begin{bmatrix}
-1\\
1
\end{bmatrix} \) and \( \begin{bmatrix}
-1/2\\
1
\end{bmatrix} \).
Por definición \( A^{-3} \) = \( (A^{-1})^3 \). Por lo tanto, de acuerdo con la propiedad 2 anterior, los valores propios de
\( A^{-3} \) are \( (1/2)^3 = 1/8 \) y \( (1/3)^3 = 1/27 \) y los valores propios correspondientes son \( \begin{bmatrix}
-1\\
1
\end{bmatrix} \) y \( \begin{bmatrix}
-1/2\\
1
\end{bmatrix} \).
Más referencias y enlaces