Matrices Diagonales
Definición de una matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todas las entradas fuera de la diagonal principal son cero.
Estos son ejemplos de matrices diagonales.
Propiedades de las Matrices Diagonales
Algunas de las propiedades más importantes de las matrices diagonales se dan a continuación.
- El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de todas las entradas en la diagonal principal.
- Una matriz diagonal es una matriz simétrica.
- Una matriz diagonal es invertible (tiene una inversa) si y sólo si ninguna de sus entradas en la diagonal principal es cero.
Suma y Multiplicación de Matrices Diagonales
Sean A y B dos matrices diagonales del mismo tamaño n × n dado por
y
Adición: 
es una matriz diagonal.
Multiplicación: 
es una matriz diagonal.
Inversa de Matrices Diagonales
Sea \( A \) una matriz diagonal dada por \( A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}
\end{bmatrix} \)
Si ninguna de las entradas \( a_{ii} \) en la diagonal principal es igual a cero, entonces \( A \) es invertible y su inversa está dada por
\( A^{-1} =
\begin{bmatrix}
\dfrac{1}{a_{11}} & 0 & 0 & ... \\
0 & \dfrac{1}{a_{22}} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & \dfrac{1}{a_{nn}}
\end{bmatrix} \)
Potencia de Matrices Diagonales
Sea \( A \) una matriz diagonal dada por \( A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}
\end{bmatrix} \)
\( A^p =
\begin{bmatrix}
a_{11}^p & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22}^p & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}^p
\end{bmatrix} \) donde \( p \) es un número entero positivo.
Sea \( A \) una matriz diagonal dada por \( A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & ... \\
0 & a_{22} & 0 & ... \\
. & & & \\
. & & & \\
. & & & \\
0 & 0 & ... & a_{nn}
\end{bmatrix} \)
Los valores propios \( \lambda_i \) y los vectores propios correspondientes \( e_i \) están dados por
\( \lambda_1 = a_{11}\) , \( e_1
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
. \\
. \\
0
\end{bmatrix} \)
\( \lambda_2 = a_{22}\) , \( e_2
=
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
. \\
. \\
0
\end{bmatrix} \)
...
etc
...
\( \lambda_n = a_{nn}\) , \( e_{n}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
. \\
. \\
1
\end{bmatrix} \)
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
¿Cuáles de las siguientes son matrices diagonales?
a) \( A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix} \) b) \( B =
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \) c) \( C =
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0\\
5 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix} \)
d) \( D =
\begin{bmatrix}
5 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 9 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix} \)
Solución
Matrices \( B \) and \( D \) are diagonal matrices.
Ejemplo 2
Las matrices \( A \) y \( B \) vienen dadas por \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -\dfrac{2}{3} & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1}{4}
\end{bmatrix} \) , \( B =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -6 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{bmatrix} \).
Calcular \( A B \)
Solución
\( A B =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -\dfrac{2}{3} & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1}{4}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -6 & 0 \\
0 & 0 & 8
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
(-1)(-1) & 0 & 0\\
0 & (-\dfrac{2}{3})(-6) & 0 \\
0 & 0 & (\dfrac{1}{4})(8)
\end{bmatrix}
\)
\(
\quad \quad =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 3
Dejar matriz \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & - 2
\end{bmatrix} \)
Calcular \( A^5 \).
Solución
\( A^5 =
\begin{bmatrix}
(-1)^5 & 0 & 0 & 0 \\
0 & (2)^5 & 0 & 0 \\
0 & 0 & (-1)^5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & (-2)^5
\end{bmatrix}
\)
Simplificar
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 32 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -32
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 4
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -3
\end{bmatrix} \)
Solución
Valor propio: \( \lambda_1 = 1 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = -3 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Ejemplo 5
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
-6 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & - \dfrac{2}{3}
\end{bmatrix} \)
Solución
Valor propio: \( \lambda_1 = -6 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = \dfrac{1}{5} \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = - \dfrac{2}{3} \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Ejemplo 6
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 9 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
Solución
Valor propio: \( \lambda_1 = 1 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = -1 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = 9 \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_4 = 1 \) , Vector propio: \( e_4 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Preguntas (con soluciones dadas a continuación)
- Parte 1
Encuentre las constantes reales \( a \) y \( b \) tales que \( A^{-1} = A \) donde \( A \) es una matriz dada por
\( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \dfrac{1}{a} & 0 & 0\\
0 & 0 & b+1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
- Parte 2
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \)
- Parte 3
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
\( A =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 0 & -2
\end{bmatrix} \)
- Parte 1
Primero encontramos la inversa de la matriz dada
\( A^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & \dfrac{1}{b+1} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
Para tener \( A^{-1} = A \), necesitamos tener
\( a = \dfrac{1}{a} \) (I) and \( \dfrac{1}{b+1} = b + 1 \) (II)
Resuelva las ecuaciones anteriores. La ecuación (I) se puede escribir como
\( a^2 = 1 \)
y da dos soluciones: \( a = 1 \) y \( a = - 1\)
La ecuación (II) se puede escribir como
\( (b+1)^2 = 1 \)
y da dos soluciones: \( b = 0 \) and \( b = - 2 \)
Por lo tanto, las soluciones a las preguntas dadas son los siguientes pares:
\( a = 1 \) , \( b = 0 \)
\( a = 1 \) , \( b = -2 \)
\( a = - 1 \) , \( b = 0 \)
\( a = - 1 \) , \( b = -2 \)
- Parte 2
Valor propio: \( \lambda_1 = 1 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = 1 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = 0 \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
- Parte 3
Valor propio: \( \lambda_1 = 2 \) , Vector propio: \( e_1 = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_2 = 2 \) , Vector propio: \( e_2 = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_3 = -2 \) , Vector propio: \( e_3 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix} \)
Valor propio: \( \lambda_4 = -2 \) , Vector propio: \( e_4 = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \)
Más referencias y enlaces