Espacios de columna y fila y rango de una matriz

Presentamos las definiciones de espacios de columnas y filas de una matriz usando ejemplos con soluciones detalladas.

Espacio de columna y rango de una matriz

Sea A un m × n matriz.
El espacio de columnas de la matriz A , denotado por Col A , es el conjunto de todos los combinaciones lineales de las columnas de la matriz A . Si Column of Matrix son las columnas de la matriz A , entonces Column of Matrix Nota que las columnas Column of Matrix puede no ser independientes y, a continuación, veremos ejemplos sobre cómo encontrar el base de Col A seleccionando solo las columnas independientes.
El rango de la matriz A es la dimensión de Col A que viene dada por el número de vectores en la base de Col A .

Ejemplo 1
Encuentre la base del espacio columna y el rango de cada una de las matrices:
Column of Matrix


\( \) \( \) \( \) Solución al ejemplo 1
a)
Sea \( c_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) and \( c_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \) ser las columnas de la matriz \( A_1 \).
Tenga en cuenta que \( c_2 = 2 c_1 \) y, por lo tanto, \( c_1 \) y \( c_2 \) NO son independientes. Como resultado, solo necesitamos una columna para abarcar \( \text{Col}\; A_1 \).
por lo tanto, la base \( B \) de \( \text{Col} \; A_1 \) está dada por: \( B = \{c_1\} \) o \( B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \)
\( \text{Col} \; A_1 = \text{span} \{c_1\} \)
La base de \( \text{Col} \; A_1 \) tiene un vector y por lo tanto \( \text{Rango} (A_1) = 1 \).


b)
Sea \( c_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) and \( c_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \) sean las columnas de la matriz \( A_2 \). Tenga en cuenta que \( c_1 \) y \( c_2 \) son independientes. Como resultado, necesitamos ambas columnas \( c_1 \) y \( c_2 \) para abarcar \( \text{Col}\; A_2 \).
La base \( B \) de \( \text{Col} \; A_2 \) está dada por: \( B = \{c_1,c_2\} \) o \( B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} \right\} \)
\( \text{Col} \; A_2 = \text{span} \{c_1,c_2\} \)
La base de \( \text{Col} \; A_2 \) tiene dos vectores y por lo tanto \( \text{Rango} (A_2) = 2 \).



c)
Sean \( c_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \), \( c_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \), \( c_3 = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \) and \( c_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -9 \end{bmatrix} \) las columnas de la matriz\( A_3 \).
Tenga en cuenta que \( c_1 \) y \( c_2 \) son independientes. Sin embargo, \( c_3 \) y \( c_4 \) dependen de \(c_1\) y \( c_2\) de la siguiente manera: \( c_3 = - 6 c_1 \) y \( c_4 = - \dfrac{9}{2} c_2 \).
Por tanto, la base \( B \) de \( \text{Col} \; A_3 \) viene dada por: \( B = \{c_1,c_2\} \) or \( B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \right\} \)
\( \text{Col} \; A_3 = \text{span} \{c_1,c_2\} \)
La base de \( \text{Col} \; A_3 \) tiene dos vectores y por lo tanto \( \text{Rango} (A_3) = 2 \).



Ejemplo 2
Encuentre la base del espacio de la columna y el rango de la matriz.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 4\\ -1 & 3 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -4 \end{bmatrix} \).

Solución al ejemplo 2
Como se ve en el ejemplo 1, la base de \( Col \; A \) viene dada por las columnas linealmente independientes de la matriz \( A \). Una forma de averiguar qué columnas son linealmente independientes es reescribir la matriz dada en la fila forma escalonada .
Reescriba la matriz \( A \) en forma escalonada por filas
\( \color{red}{\begin{matrix} \\ R_2+R_1\\ \\ \end{matrix}} \) \( \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & -1 & -1 & -4 \end{bmatrix} \)

\( \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ R_3+R_2\\ \end{matrix}} \) \( \begin{bmatrix} \color{blue}1 & -2 & 0 & 4\\ 0 & \color{blue}1 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

La base de \( \text{Col} \; A \) está dada por la columna en la matriz original correspondiente a las columnas con pivote (el 1 principal en una fila) en la forma escalonada de filas obtenida.
La primera y la segunda columna de la matriz reducida tienen un pivote cada una y, por lo tanto, la primera y la segunda columna de la matriz original forman la base \( B \) de \( \text{Col}\ A \) que viene dada por
\( B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -2 \\ 3\\ -1 \end{bmatrix} \right\} \)

\( \text{Col}\ A = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -2 \\ 3\\ -1 \end{bmatrix} \right\} \)
La base de \( \text{Col} \; A \) tiene dos vectores y por lo tanto \( \text{Rango} (A) = 2 \).



Espacio de fila y rango de una matriz

Sea \( A \) una matriz \( m \times n\).
El espacio fila de la matriz \( A \), denotado por \( \text{Fila} A \), es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las filas de la matriz \( A \). Si \( b_1, b_2, ..., b_m \) son las filas de la matriz \( A \), entonces
\[ \text{Row} \; A = \text{span} \; \{b_1, b_2, ..., b_n\} \]

Tenga en cuenta que las filas \( \{b_1, b_2, ..., b_m\} \)pueden no ser independientes y, a continuación, veremos ejemplos sobre cómo encontrar el base de \( \text{Row} \; A \) seleccionando solo las filas independientes.
El rango de la matriz \( A \) es la dimensión de \( \text{Row} \; A \) que viene dada por el número de vectores en la base de \( \text{Row} \; A \).


Ejemplo 3
Encuentre la base del espacio fila y el rango de cada una de las matrices:
a) \( A_1 = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ - 2 & - 4 \end{bmatrix} \) , b) \( A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5\\ 0 & 2 & 7 \end{bmatrix} \) , c) \( A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -6 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -9 \end{bmatrix} \)


Solución al ejemplo 3
a)
Dejar \( b_1 = (4,8) \) y \(b_2 = (-2,-4) \) sean las filas de la matriz \( A_1 \). Tenga en cuenta que \( b_2 = - \dfrac{1}{2} b_1 \) y por lo tanto \( b_1 \) y \( b_2 \) NO son independientes. Como resultado, solo necesitamos una fila para abarcar \( \text{Row}\; A_1 \).
Por lo tanto, la base \( B \) de \( \text{Row} \; A_1 \) viene dada por: \( B = \{ b_1\} \) o \( B = \{ (4,8) \} \)
\( \text{Row} \; A_1 = \text{span} \{ (4,8) \} \)
La base de \( \text{Row} \; A_1 \) tiene un vector y por lo tanto \( \text{Rank} (A_1) = 1 \).

b)
Sea \( b_1 = (1,0,5) \) y \( b_2 = (0,2,7) \) sean las filas de la matriz \( A_2 \). Tenga en cuenta que \( b_1 \) y \( b_2 \) son independientes. Por lo tanto, necesitamos que ambas columnas abarquen \( \text{Row} \; A_2 \).
La base \( B \) de \( \text{Row} \; A_2 \) está dada por: \( B = \{ b_1 , b_2 \} \) o \( B = \{ (1,0,5 ) , (0,2,7) \} \)
\( \text{Row} \; A_2 = \text{span} \{ (1,0,5) , (0,2,7) \} \)
La base de \( \text{Row} \; A_2 \) tiene dos vectores y por lo tanto \( \text{Rank} (A_2) = 2 \).

c)
Sean \( b_1 = (1,0,-6,0) \), \( b_2 = (0,0,0,0) \) y \( b_3 = (0,2,0,-9) \) sean las filas de la matriz \( A_3 \).
Tenga en cuenta que \( b_1 \) y \( b_3 \) son independientes; \( b_2 \) es un vector cero que no contribuye en ninguna combinación lineal y por lo tanto no se incluye en la base.
La base \( B \) de \( \text{Row} \; A_3 \) está dada por: \( B = \{ b_1 , b_3 \} \) o \( B = \{ (1,0,- 6,0) , (0,2,0,-9) \} \)
\( \text{Row} \; A_3 = \text{span} \{ (1,0,-6,0) , (0,2,0,-9) \} \)
La base de \( \text{Row} \; A_3 \) tiene dos vectores y por lo tanto \( \text{Rank} (A_3) = 2 \).



Ejemplo 4
Encuentre la base del espacio de filas y el rango de la matriz
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 4\\ 1 & 1 & -1 & - 8 \\ 2 & -1 & -1 & -4 \\ - 3 & 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} \).

Solución al ejemplo 4
Necesitamos encontrar filas independientes entre las filas de la matriz dada. Esto se puede hacer reescribiendo la matriz dada en forma escalonada por filas.
Reescriba la matriz \( A \) en forma escalonada por filas
\( \color{red}{\begin{matrix} \\ R_2 - R_1\\ R_3 - 2 R_1\\ R_4 + 3 R_1\\ \end{matrix}} \) \( \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 4\\ 0 & 3 & -1 & -12\\ 0 & 3 & -1 & -12\\ 0 & -3 & 1 & 12 \end{bmatrix} \)

\( \color{red}{\begin{matrix} \\ \frac{1}{3} R_2\\ \\ \\ \end{matrix}} \) \( \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1/3 & - 4\\ 0 & 3 & -1 & -12\\ 0 & -3 & 1 & 12 \end{bmatrix} \)

\( \color{red}{\begin{matrix} \\ \\ R_3 - 3 R_2\\ R_4 + 3 R_2\\ \end{matrix}} \) \( \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 4\\ 0 & 1 & -1/3 & - 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)         (I)

La base de \( \text{Row} \; A \) viene dada por los renglones distintos de cero en la forma escalonada de renglones (matriz I) obtenida. Por eso
\( \text{Row}\ A = \text{span} \; \left\{ (1 , -2 , 0 , 4) , (0 , 1 , -1/3 , - 4) \right\} \)
La base de \( \text{Row} \; A \) tiene dos vectores y por lo tanto \( \text{Rank} (A) = 2 \).



Pasos para Determinar las Bases de los Espacios Columna y Fila de una Matriz y su Rango

Si \( A \) es una matriz \( m \times n \),
Paso 1: Reescriba la matriz \( A \) en una forma escalonada de filas como matriz \( E \) Reescriba la matriz \( A \) en una forma escalonada de filas como matriz \( E \)
Paso 2: La base de \( \text{Row} \; A \) es el conjunto de todas las filas distintas de cero en la matriz \( E \) y \( \text{Row} \; A \) es un subespacio de \( \mathbb {R}^n\)
Paso 3: La base de \( \text{Col} \; A \) es el conjunto de todas las columnas en \( A \) correspondientes a las columnas con pivote en \( E \) y \( \text{Col} A \) es un subespacio de \( \mathbb{R}^m \)
Paso 4: Rango de A = dim\( \text{Row} \; A \) = dim \( \text{Col} \; A \)



Ejemplo 5
Encuentre la base del espacio de filas, la base del espacio de columnas y el rango de la matriz
\( A = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 4 & -2\\ 1 & 2 & -2 & 0\\ 2 & -3 & 1 & 0\\ 0 & 5 & 2 & -2 \end{bmatrix} \).

Solución al ejemplo 5
Paso 1: Write matrix \( A \) in row echelon form \( E \)
Tenga en cuenta que dado que escribir matrices en fila escalonada no es el tema principal discutido aquí, hemos usado un calculadora de reducción de filas para obtener la forma escalonada de filas \( E \) de la matriz dada.
\( E = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & 2\\ 0 & 1 & 2/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & -14/39\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

Paso 2: La base \(B \) de \( \text{Row} A \) es el conjunto de todas las filas distintas de cero en \( E \).
Por eso \( B = \{ (1 , -3 , -4 , 2) , (0 , 1 , 2/5 , -2/5) , (0 , 0 , 1 , -14/39) \} \)

Paso 3: La base \( C \) de \( \text{Col} A \) es el conjunto de todas las columnas en \( A \) correspondientes a las columnas con pivotes en \( E \).
Las primeras tres columnas en \( E \) tienen un pivote, por lo que la base es el conjunto de las primeras tres columnas en \( A \).
\( C = \left\{ \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 2\\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3\\ 2\\ -3\\ 5 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 4\\ -2\\ 1\\ 2 \end{bmatrix} \right\} \)

Paso 4: Las dimensiones de \( \text{Row} \; A \) y \( \text{Col} \; A \) están dadas por
dim \( \text{Row} \; A \) = número de filas en la base \( B \) de \( \text{Row} \; A \) = 3
dim \( \text{Col} \; A \) = número de votantes en la base \( C \) de \( \text{Columna} \; A \) = 3
Rango de \( A \) = dim \( \text{Row} \; A \) = dim \( \text{Col} \; A \) = 3



Questions with Solution

Dada la matriz \( A \) y su forma escalonada por filas \( E \), determine el espacio columna, el espacio fila y el rango de cada matriz.

  1. \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \) , \(E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

  2. \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 4 & 0\\ 2 & -2 & 6 & -4 \\ \end{bmatrix} \) , \(E = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \)

  3. \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ -1 & 2 & 4 & -3 & 2\\ 2 & -2 & 0 & 1 & -3 \\ 3 & -3 & 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \) , \(E = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 4 & -3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)



Soluciones a las preguntas anteriores


  1. La base \( B \) del espacio columna y la base \( C \) del espacio fila vienen dadas por:
    \( B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -3 \\ -2\\ \end{bmatrix} \right\} \)
    \( C = \{ (1 , 0 , -3) , (0,0,1) \} \)
    Por eso
    \( \text{Col} \; A = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -3 \\ -2\\ \end{bmatrix} \right\} \)
    \( \text{Row} \; A = \text{span} \left\{ ( 1 , 0 , -3) , ( 0 , 0 , 1) \right\} \)
    Rango de \( A \) = 2



  2. La base \( B \) del espacio columna y la base \( C \) del espacio fila vienen dadas por:
    \( B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 0\\ -2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2 \\ 4\\ 6 \end{bmatrix} \right\} \)
    \( C = \{ (1 , -1 , 2 , -1) , (0 , 1 , 2 , 1) , ( 0 , 0 , 1 , -1) \} \)
    Por eso
    \( \text{Col} \; A = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 0\\ -2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2 \\ 4\\ 6 \end{bmatrix} \right\} \)
    \( \text{Row} \; A = \text{span} \left\{ (1 , -1 , 2 , -1) , (0 , 1 , 2 , 1) , ( 0 , 0 , 1 , -1) \right\} \)
    Rango de \( A \) = 3



  3. La base \( B \) del espacio columna y la base \( C \) del espacio fila vienen dadas por:
    \( B = \left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \\ -3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ -3\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \)
    \( C = \{ (1 , -1 , 0 , 0 , -1) , (0 , 1 , 4 , -3 , 1) , ( 0 , 0 , 0 , 1 , -1 ) \} \)
    Por eso
    \( \text{Col} \; A = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \\ -3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\ -3\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\} \)
    \( \text{Row} \; A = \text{span} \left\{ (1 , -1 , 0 , 0 , -1) , (0 , 1 , 4 , -3 , 1) , ( 0 , 0 , 0 , 1 , -1 ) \right\} \)
    Rango de \( A \) = 3



Más referencias y enlaces

  1. álgebra lineal
  2. Linear Combinations and Span of Vectors
  3. Linearly Independent and Dependent Vectors
  4. Basis, Coordinates and Dimension of Vector Spaces
  5. Escriba una matriz en forma escalonada de filas
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  7. Pivots of a Matrix in Row Echelon Form
  8. Solve a system of linear equations by elimination
  9. elementary matrices