Se presenta una calculadora en línea para calcular el porcentaje del área de la Tierra (supuestamente una esfera) cubierta por un satélite, dada su altitud y ángulo de elevación.
En la figura siguiente, un satélite en el punto \( S \), en órbita alrededor de la Tierra, solo puede cubrir una parte de la Tierra que tiene forma de casquete esférico.
La siguiente figura muestra una representación bidimensional de un satélite a una altitud \( H \) sobre la superficie de la tierra. \( \theta \) es el ángulo de cobertura y \( \gamma \) es el ángulo de elevación del satélite, medido con respecto a la tangente a la tierra.
El área del casquete esférico está dada por
\[ \displaystyle \text{A}_{cap} = 2\pi R h \]
La relación \( f \) entre \( \displaystyle \text{A}_{cap} \) y el área total de la Tierra está dada por
\[ f = \dfrac{2\pi R h}{4 \pi R^2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{h}{R} \]
donde \( R \approx 6378 \) km es el radio de la Tierra y \( h \) es la altura del casquete esférico (en rojo).
\( \quad \cos(\alpha) = \dfrac{\overline{OD}}{\overline{OA}} = \dfrac{R-h}{R} = 1 - \dfrac{h}{R} \)
por eso
\( \quad \dfrac{h}{R} = 1 - \cos(\alpha) \)
Sustituya \( \dfrac{h}{R} \) en la fórmula por \( f \) anterior para obtener
\[ f = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(\alpha)) \quad \quad (I)\]
Ahora necesitamos encontrar \( \alpha \)
\( \quad \alpha + \gamma + \theta + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
Usa la ley del seno en el triángulo \( OEA \) para escribir
\( \quad \dfrac{\sin(\gamma+90^{\circ})}{ \overline{OS} } = \dfrac{\sin(\theta)}{ \overline{OA}} \quad \quad (II)\)
Tenga en cuenta que
\( \quad \sin(\gamma+90^{\circ}) = \cos(\gamma) \)
\( \quad \theta = 90^{\circ}-\alpha - \gamma \)
\( \quad \sin(\theta) = \sin(90^{\circ}-\alpha - \gamma ) = \cos(\alpha + \gamma) \)
\( \quad \overline{OS} = H + R \)
\( \quad \overline{OA} = R \)
Sustituye en la ecuación (II) y reescríbela como
\( \quad \dfrac{\cos(\gamma)}{ H+R } = \dfrac{\cos(\alpha + \gamma)}{ \overline{R}} \)
Utilice el producto cruzado para obtener
\( \quad \cos(\alpha + \gamma) = \dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma) \)
Toma \( arccos \) de ambos lados
\( \quad \alpha + \gamma = \arccos (\dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma)) \)
\[ \alpha = \arccos (\dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma)) - \gamma \quad \quad (III) \]
Esta calculadora utiliza las fórmulas \( I \) y \( III \) para calcular el porcentaje \( f \) del área de la Tierra cubierta por el satélite a una altitud \( H \) y un ángulo de elevación \( \gamma \)
Ingrese la altitud \( H \) del satélite como un número real positivo. Ingrese el ángulo de elevación \( \gamma \) cuyo valor esté en el rango \( (0,90^{\circ}) \) y presione "calcular".
El resultado es el porcentaje del área de la superficie de la Tierra que está cubierta por el satélite.
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