Dimensiones del Rectángulo: Encuentra Largo y Ancho

Fórmulas y Método de Solución

Dado el perímetro \( P = 2L + 2A \) y el área \( A = L \times A \) de un rectángulo, podemos encontrar su largo \(L\) y su ancho \(A\).

Derivación Paso a Paso

1. Del perímetro: \( \displaystyle L + A = \frac{P}{2} \)
2. Sea \( S = \frac{P}{2} \). Entonces \( A = S - L \).
3. Sustituye en la ecuación del área: \( \displaystyle L \times (S - L) = A \)
4. Esto se simplifica a la ecuación cuadrática: \( \displaystyle L^2 - S\,L + A = 0 \)
5. Resolviendo para \(L\) usando la fórmula cuadrática: \[ L = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4A}}{2} \]
6. El ancho es entonces \( A = S - L \). La diagonal se encuentra usando el teorema de Pitágoras: \( d = \sqrt{L^2 + A^2} \).

Condición de Existencia

Un rectángulo con área \(A\) y perímetro \(P\) dados existe solo si el discriminante \( \; S^2 - 4A \; \) es no negativo: \[ \left(\frac{P}{2}\right)^2 - 4A \ge 0 \quad \text{o equivalentemente} \quad P^2 \ge 16A \]

Si esta condición no se cumple, no existe un rectángulo real con esas dimensiones.

Ejemplo

Para \(P = 14\) y \(A = 12\) (los valores predeterminados):

• \(S = \frac{P}{2} = 7\)
• Discriminante: \(7^2 - 4 \times 12 = 49 - 48 = 1\)
• \(\sqrt{\Delta} = 1\)
• Largo = \(\frac{7 + 1}{2} = 4\), Ancho = \(\frac{7 - 1}{2} = 3\)
• Verificación: Perímetro = \(2(4+3) = 14\) ✓, Área = \(4 \times 3 = 12\) ✓
• Diagonal = \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)

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