Média e Desvio Padrão - Problemas com Soluções
Média
e
desvio padrão
problemas junto com suas soluções na parte inferior da página são apresentados. Problemas relacionados a conjuntos de dados, bem como a dados agrupados, são discutidos.
Problemas
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Considere os três conjuntos de dados a seguir A, B e C.
UMA = {9,10,11,7,13}
B = {10,10,10,10,10}
C = {1,1,10,19,19}
a) Calcule a média de cada conjunto de dados.
b) Calcule o desvio padrão de cada conjunto de dados.
c) Qual conjunto tem o maior desvio padrão?
d) É possível responder à questão c) sem cálculos do desvio padrão?
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Um determinado conjunto de dados tem uma média μ e um desvio padrão σ.
a) Quais são os novos valores da média e do desvio padrão se a mesma constante k for adicionada a cada valor de dados no conjunto dado? Explique.
b) Quais serão os novos valores da média e do desvio padrão se cada valor dos dados do conjunto for multiplicado pela mesma constante k? Explique.
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Se o desvio padrão de um determinado conjunto de dados for igual a zero, o que podemos dizer sobre os valores dos dados incluídos nesse conjunto de dados?
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A tabela de frequência dos salários mensais de 20 pessoas é apresentada a seguir.
salário(em $) | frequência |
3.500 | 5 |
4000 | 8 |
4200 | 5 |
4300 | 2 |
a) Calcule a média dos salários das 20 pessoas.
b) Calcule o desvio padrão dos salários das 20 pessoas.
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A tabela a seguir mostra os dados agrupados, em classes, para alturas de 50 pessoas.
altura (em cm) - classes | frequência |
( 120 , 130 ] | 2 |
( 130 , 140 ] | 5 |
( 140 , 150 ] | 25 |
( 150 , 160 ] | 10 |
( 160 , 170 ] | 8 |
a) Calcule a média dos salários das 20 pessoas.
b) Calcule o desvio padrão dos salários das 20 pessoas.
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média do conjunto de dados A = (9+10+11+7+13)/5 = 10
média do conjunto de dados B = (10+10+10+10+10)/5 = 10
média do conjunto de dados C = (1+1+10+19+19)/5 = 10
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Conjunto de dados de desvio padrão A
= √[ ( (9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(7- 10)2+(13-10)2 )/5 ] = 2
Conjunto de dados de desvio padrão B
= √[ ( (10-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(10- 10)2+(10-10)2 )/5 ] = 0
Conjunto de dados de desvio padrão C
= √[ ( (1-10)2+(1-10)2+(10-10)2+(19- 10)2+(19-10)2 )/5 ] = 8,05
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O conjunto de dados C tem o maior desvio padrão.
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Sim, uma vez que o conjunto de dados C possui valores de dados mais distantes da média em comparação aos conjuntos A e B.
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Limitamos a discussão a um conjunto de dados com 3 valores para simplificar, mas as conclusões são verdadeiras para qualquer conjunto de dados com dados quantitativos.
Sejam x, y e z os valores dos dados que compõem um conjunto de dados.
A média μ = (x + y + z) / 3
O desvio padrão σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2) /3]
Agora adicionamos uma constante k a cada valor de dados e calculamos a nova média μ'.
μ' = ((x + k) + (y + k) + (z + k)) / 3 = (x + y + z) / 3 + 3k/3 = μ + k
Calculamos agora o novo desvio padrão médio σ'.
σ' = √[ ((x + k - μ')2 +(y + k - μ')2+(z + k - μ') 2)/3 ]
Observe que x + k - μ' = x + k - μ - k = x - μ
também y + k - μ' = y + k - μ - k = y - μ e z + k - μ' = z + k - μ - k = z - μ
Portanto σ' = √[ ((x - μ)2 +(y - μ)2+(z - μ)2) /3 ] = σ
Se adicionarmos a mesma constante k a todos os valores de dados incluídos em um conjunto de dados, obteremos um novo conjunto de dados cuja média é a média do conjunto de dados original MAIS k. O desvio padrão não muda.
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Agora multiplicamos todos os valores dos dados por uma constante k e calculamos a nova média μ' e o novo desvio padrão σ'.
μ' = (kx + ky + kz) / 3 = kμ
σ' = √[ ((kx - kμ)2 +(ky - kμ)2+(kz - kμ)2) /3 ] = |k| σ
Se multiplicarmos todos os valores de dados incluídos em um conjunto de dados por uma constante k, obteremos um novo conjunto de dados cuja média é a média do conjunto de dados original VEZES k e o desvio padrão é o desvio padrão do conjunto de dados original VEZES o valor absoluto de k.
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Novamente, limitamos a discussão a um conjunto de dados com 4 valores para simplificar, mas as conclusões são verdadeiras para qualquer conjunto de dados com dados quantitativos.
Sejam x, y, z e w os valores dos dados que formam um conjunto de dados com média μ.
O desvio padrão σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - μ)2)/3 ]
Deixe o σ = 0, portanto
√[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + ( w - μ)2)/3 ] = 0
Que dá
(x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - μ )2 = 0
Todos os termos da equação são positivos e, portanto, a equação acima é equivalente a
(x - μ)2 = 0, (y - μ)2 = 0, (z - μ)2 = 0 e (w - μ)2 = 0.
Que dá
x = y = z = w = μ : todos os valores de dados no conjunto com σ = 0 são iguais.
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Seja xi o i-ésimo salário e fi a frequência correspondente.
média dos dados agrupados = μ = (Σxi*fi) / Σfi
= (3500*5 + 4000*8 + 4200*5 + 4300*2) /(5 + 8 + 5 + 2)
= $ 3.955
b) desvio padrão dos dados agrupados = √[ (Σ(xi-μ)2*fi) / Σ feu ]
= √[ (5*(3500-3955)2+8*(4000-3955)2+5*(4200-3955)2+2*(4300-3955)2) /(20) ]
≈ 282 (arredondado para a unidade mais próxima)
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Primeiro encontramos os pontos médios das classes fornecidas.
altura (em cm) - classes | ponto médio | frequência |
( 120 , 130 ] | (120+130) ÷ 2 = 125 | 2 |
( 130 , 140 ] | (130+140) ÷ 2 = 135 | 5 |
( 140 , 150 ] | (140+150) ÷ 2 = 145 | 25 |
( 150 , 160 ] | (150+160) ÷ 2 = 155 | 10 |
( 160 , 170 ] | (160+170) ÷ 2 = 165 | 8 |
Seja mi o ponto médio da i-ésima classe e fi a frequência correspondente.
média dos dados agrupados = μ = (Σmi*fi) / Σfi
= (125*2 + 135*5 + 145*25 + 155*10 + 165*8) /(2+5+25+10+8)
≈ 148,4
b) desvio padrão dos dados agrupados = √[ (Σ(mi-μ)2*fi) / Σ feu ]
= √[ (2*(125-148,4)2+5*(135-148,4)2+25*(145-148,4)2+10*(155-148,4)2+8*(165-148,4)2) /(50) ]
≈ 9,9
Mais referências e links
estatísticas e probabilidades elementares.
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