함수의 차이몫
미적분학의 차이몫은 무엇인가요?
정의부터 시작한 다음 자세한 설명과 함께 다양한 함수에 대한 차이지수를 예시로 계산합니다.
차이지수 계산기가 포함되어 있으며 결과를 확인하고 추가 연습을 생성하는 데 사용할 수 있습니다.
\( \)\( \)\( \)\( \)
차이지수 정의
\( f \)를 아래에 그래프가 표시된 함수로 둡니다.
A와 B는 \(f\) 그래프의 점입니다. ㅏ 라인 두 점 \( A ( x , f(x)) \) 및 \( B(x+h , f(x+h)) \)를 통과하는 것을 시컨트 선이라고 합니다. 할선의 기울기 \(m \)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x}
\]
분모를 단순화하여 구함
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
\]
기울기 \( m \)을 차이지수라고 합니다. 이는 실제로 수학에서 함수의 국소적 변화를 정의하는 함수 \( f \)의 도함수를 정의하는 데 사용되는 미적분학에서 매우 중요한 개념입니다.
솔루션 예시
아래 예에서는 다양한 함수의 차이몫을 계산하고 단순화합니다.
예제 1
다음으로 정의된 함수 \( f \)의 차분몫을 구합니다.
\[f(x) = 2x + 5\]
예제 1에 대한 해결책
- 먼저 계산을 해야 합니다 \( f(x + h) \).
\(
f(x + h) = 2(x + h) + 5
\)
- 이제 차이몫의 정의에서 \( f(x + h) \) 및 \( f(x) \)를 표현식으로 대체합니다.
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5) }{h}
\)
- 위 식을 단순화하면.
\(
= \dfrac{2h}{2} = 2
\)
- 답은 2입니다. 이는 함수 \( f \)로 정의된 선의 기울기이기도 합니다. 이유는 무엇입니까?
실시예 2
다음 함수의 차분몫을 구하세요.
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]
예제 2에 대한 해결책
- 우리는 먼저 계산합니다 \( f(x + h) \).
\(
f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2
\)
- 이제 차이몫에 \( f(x + h) \) 및 \( f(x) \)를 대체합니다.
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h}
\)
- 분자 및 그룹과 같은 용어의 표현을 확장합니다.
\(
= \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h +1
\)
실시예 3
다음과 같이 주어진 함수 \( f \)의 차분몫을 구합니다.
\[ f(x) = \sin x \]
그리고 그 결과를 product 로 씁니다..
예제 3에 대한 해결책
- 우리는 먼저 계산합니다 \( f(x + h) \).
\(
f(x + h) = \sin (x + h)
\)
- 이제 차이몫에 \( f(x + h) \) 및 \( f(x) \)를 대체합니다.
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h}
\)
- 저희는 차이를 변환하는 삼각 공식을 사용하여 \( \ 쿼드 \sin (x + h) - \sin x \quad \)를 곱으로 변환합니다.
\(
\sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)
\)
- 위 차이몫의 \( sin (x + h) - sin x \)를 위 식으로 대체하여 구합니다.
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\)
추가 참조 및 링크
차이몫 계산기
미분 및 파생 상품
차이지수