Trova l'area di un cerchio usando gli integrali nel calcolo
\( \) \( \)\( \)\( \)
Trova l'area di un cerchio di raggio \( a \) usando gli integrali nel calcolo.
Problema : Trova l'area di un cerchio di raggio \( a \).
Soluzione al problema:
L' equazione del cerchio mostrata sopra è data da
Il cerchio è simmetrico rispetto agli assi x e y, quindi possiamo trovare l'area di un quarto di cerchio e moltiplicare per 4 per ottenere l'area totale del cerchio.
Risolvi l'equazione precedente per \( y \)
\( y = \pm \sqrt{ a^2 - x^2 } \)
L'equazione del semicerchio superiore (y positivo) è data da
\( y = \sqrt { a^2 - x^2 } \)
Estrai \( a^2 \) all'interno del radicando
\( y = \sqrt { a^2(1 - x^2/a^2) } \)
Prendi \( a^2 \) da sotto il radicando e riscrivi \( y \) come segue
\( y = a \sqrt { 1 - x^2 / a^2 } \)
Usiamo gli integrali per trovare l'area del quarto superiore destro del cerchio come segue
(1 / 4) Area del cerchio = \( \displaystyle \int_0^a a \sqrt{1-x^2/a^2} dx \)
Sostituiamo \( \; x / a \) con \( \; \sin t \) in modo che \( \sin t = x / a \) e \( dx = a \cos t \; dt \; \) e l'area è data da
(1 / 4) Area del cerchio = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1-\sin^2t} \cos t \; dt\)
Ora usiamo l'identità trigonometrica
\( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \)
che dà
\( \sqrt{1-\sin^2t} = \cos t \quad \) poiché t varia da 0 a \( \pi/2 \) quindi
(1 / 4) Area del cerchio = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2t \; dt\)
Utilizzare l'identità trigonometrica \( \; \cos^2 t = ( \cos 2t + 1 ) / 2 \;\) per linearizzare l'integrando;
(1 / 4) Area del cerchio = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 ( \cos 2t + 1 ) / 2 \; dt\)
Valutare l'integrale
(1 / 4) Area del cerchio = \( \displaystyle (1/2)a^2 \left[(1/2) \sin 2t + t\right]_0^{\pi/2} \)
Semplificare
(1 / 4) Area del cerchio = \( (1/4) \pi a^2 \)
L'area totale del cerchio si ottiene moltiplicando per 4
Area del cerchio = \( 4 \times (1/4) \pi a^2 = \pi a^2 \)
Riferimenti
integrali e loro applicazioni nel calcolo.
Equazione del cerchio
Identità e formule trigonometriche