Gleichung einer Parabel aus einem Diagramm finden

Mehrere Methoden werden verwendet, um Gleichungen von Parabeln aus ihren gegebenen Diagrammen zu finden. Beispiele werden zusammen mit ihren detaillierten Lösungen und Übungen vorgestellt.

Beispiele mit detaillierten Lösungen

Beispiel 1 Diagramm einer Parabel mit gegebenen x- und y-Achsenabschnitten
Finden Sie die Gleichung der Parabel, deren Graph unten dargestellt ist.
Lösung zu Beispiel 1
Der Graph hat zwei x-Achsenabschnitte bei \( x = - 1 \) und \( x = 2 \). Daher kann die Gleichung der Parabel geschrieben werden als
\( y = a(x + 1)(x - 2) \)
Wir müssen nun den Koeffizienten \( a \) mithilfe des y-Achsenabschnitts bei \( (0,-2) \) finden.
\( -2 = a(0 + 1)(0 - 2) \)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( a \) auf, um zu erhalten
\( a = 1 \)
Die Gleichung der Parabel, deren Graph oben gegeben ist, lautet
\( y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\)

Beispiel 2 Diagramm einer Parabel mit gegebenem Scheitelpunkt und einem Punkt
Finden Sie die Gleichung der Parabel, deren Graph unten dargestellt ist.
Lösung zu Beispiel 2
Der Graph hat einen Scheitelpunkt bei \( (2,3) \). Daher kann die Gleichung der Parabel in Scheitelpunktform geschrieben werden als
\( y = a(x - 2)^2 + 3 \)
Wir verwenden nun den y-Achsenabschnitt bei \( (0,- 1) \), um den Koeffizienten \( a \) zu finden.
\( - 1 = a(0 - 2) + 3\)
Lösen Sie das Obige nach \( a \) auf, um zu erhalten
\( a = 2 \)
Die Gleichung der Parabel, deren Graph oben gezeigt wird, lautet
\( y = 2(x - 2)^2 + 3\)

Beispiel 3 Diagramm einer Parabel mit drei gegebenen Punkten
Finden Sie die Gleichung der Parabel, deren Graph unten dargestellt ist.
Lösung zu Beispiel 3
Die Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse kann geschrieben werden als
\( y = a x^2 + b x + c \)
Drei Punkte auf dem gegebenen Graphen der Parabel haben die Koordinaten \( (-1,3), (0,-2) \) und \( (2,6) \). Verwenden Sie diese Punkte, um das Gleichungssystem zu erstellen.
\( \begin{array}{lcl} a (-1)^2 + b (-1) + c & = & 3 \\ a (0)^2 + b (0) + c & = & -2 \\ a (2)^2 + b (2) + c & = & 6 \end{array} \)
Vereinfachen und umschreiben als
\( \begin{array}{lcl} a - b + c & = & 3 \\ c & = & -2 \\ 4 a + 2 b + c & = & 6 \end{array} \)
Lösen Sie das obige 3x3-System linearer Gleichungen, um die Lösung zu erhalten
\( a = 3 , b=-2 \) und \(c=-2 \)
Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch
\( y = 3 x^2 - 2 x - 2 \)

Beispiel 4 Diagramm einer Parabel mit gegebenem Durchmesser und gegebener Tiefe
Finden Sie die Gleichung des Parabolreflektors mit Durchmesser D = 2,3 Meter und Tiefe d = 0,35 Meter sowie die Koordinaten seines Brennpunkts.
Lösung zu Beispiel 4
Der Parabolreflektor hat einen Scheitelpunkt im Ursprung \( (0,0) \), daher ist seine Gleichung gegeben durch
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Der angegebene Durchmesser und die Tiefe können als ein Punkt mit den Koordinaten \( (D/2 , d) = (1,15 , 0,35) \) auf dem Graphen des Parabolreflektors interpretiert werden. Daher die Gleichung
\( 0,35 = \dfrac{1}{4p} (1,15)^2 \)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( p \) auf, um zu finden
\( p = 0,94 \)
Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch
\( y = 0,26 x^2 \)
Der Brennpunkt des Parabolreflektors befindet sich an dem Punkt
\( (p , 0) = (0,94 , 0 ) \)

Übungen mit Antworten

Finden Sie die Gleichung der Parabel in jedem der folgenden Diagramme

1. \( y = x^2-3x-3 \)
2. \( y = - (x + 2)^2 - 1 = - x^2 -4x -5 \)
3. \( y = (x-2)(x+6) = x^2 + 4x - 12 \)

Weitere Referenzen und Links zur Parabel