Finden Sie die Gleichung einer Parabel aus einem Diagramm
Mehrere Methoden werden verwendet, um Gleichungen von Parabeln anhand ihrer Diagramme zu finden. Es werden Beispiele mit detaillierten Lösungen und Übungen vorgestellt.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1 Diagramm einer Parabel mit gegebenen x- und y-Achsenabschnitten
Finden Sie die Gleichung der Parabel, deren Diagramm unten dargestellt ist.
Lösung zu Beispiel 1
Der Graph hat zwei x-Achsenabschnitte bei \( x = - 1 \) und \( x = 2 \). Daher kann die Parabelgleichung geschrieben werden als:
\( y = a(x + 1)(x - 2) \)
Wir müssen nun den Koeffizienten \( a \) mithilfe des y-Achsenabschnitts bei \( (0,-2) \) ermitteln.
\( -2 = a(0 + 1)(0 - 2) \)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( a \) auf, um zu erhalten
\( a = 1 \)
Die Gleichung der Parabel, deren Diagramm oben angegeben ist, lautet
\( y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\)
Beispiel 2 Diagramm einer Parabel mit gegebenem Scheitelpunkt und einem Punkt
Finden Sie die Gleichung der Parabel, deren Diagramm unten dargestellt ist.
Lösung zu Beispiel 2
Der Graph hat einen Scheitelpunkt bei \( (2,3) \). Daher kann die Gleichung der Parabel in Scheitelpunktform geschrieben werden als:
\( y = a(x - 2)^2 + 3 \)
Wir verwenden nun den y-Achsenabschnitt bei \( (0,- 1) \), um den Koeffizienten \( a \) zu finden.
\( - 1 = a(0 - 2) + 3\)
Lösen Sie das Obige nach \( a \) auf, um zu erhalten
\( a = 2 \)
Die Gleichung der Parabel, deren Diagramm oben dargestellt ist, lautet
\( y = 2(x - 2)^2 + 3\)
Beispiel 3 Diagramm einer Parabel mit drei Punkten
Finden Sie die Gleichung der Parabel, deren Diagramm unten dargestellt ist.
Lösung zu Beispiel 3
Die Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse kann wie folgt geschrieben werden:
\( y = a x^2 + b x + c \)
Drei Punkte auf dem gegebenen Graphen der Parabel haben die Koordinaten \( (-1,3), (0,-2) \) und \( (2,6) \). Verwenden Sie diese Punkte, um das Gleichungssystem zu schreiben
\(
\begin{array}{lcl} a (-1)^2 + b (-1) + c & = & 3 \\ a (0)^2 + b (0) + c & = & -2 \\ a (2)^2 + b (2) + c & = & 6 \end{array}
\)
Vereinfachen und umschreiben als
\(
\begin{array}{lcl} a - b + c & = & 3 \\ c & = & -2 \\ 4 a + 2 b + c & = & 6 \end{array}
\)
Lösen Sie das obige 3x3-System linearer Gleichungen, um die Lösung zu erhalten
\( a = 3 , b=-2 \) und \(c=-2 \)
Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch
\( y = 3 x^2 - 2 x - 2 \)
Beispiel 4 Diagramm einer Parabel mit gegebenem Durchmesser und Tiefe
Finden Sie die Gleichung des Parabolreflektors mit Durchmesser D = 2,3 Meter und Tiefe d = 0,35 Meter sowie die Koordinaten seines Fokus.
Lösung zu Beispiel 4
Der Parabolreflektor hat einen Scheitelpunkt im Ursprung \( (0,0) \), daher ist seine Gleichung gegeben durch
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Der angegebene Durchmesser und die angegebene Tiefe können als Koordinatenpunkt \( (D/2 , d) = (1,15 \;\; , \;\; 0,35) \) auf dem Diagramm des Parabolreflektors interpretiert werden. Daher die Gleichung
\( 0,35 = \dfrac{1}{4p} (1,15)^2 \)
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( p \) auf, um sie zu finden
\(
p = 0,94
\)
Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch
\( y = 0,26 x^2 \)
Der Fokus des Parabolreflektors liegt im Punkt
\( (p , 0) = (0,94 \;\; , \;\; 0 ) \)
Übungen mit Antworten
Finden Sie die Parabelgleichung in den einzelnen Diagrammen unten
