3D-Vektoren (R3)

3D-Vektoren werden zusammen mit Operationen wie Summe, Differenz und Skalarmultiplikation eingeführt. Auch Eigenschaften wie der Betrag sind enthalten. Fragen mit ausführlichen Lösungen sind enthalten.

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist eine Größe, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung hat. Er wird geometrisch durch ein Liniensegment dargestellt, dessen Länge der Betrag ist, und einen Pfeil, der seine Richtung anzeigt, wie im folgenden Bild gezeigt. Vektoren werden in der Physik verwendet, um Größen mit Größen und Richtungen wie Geschwindigkeiten, Kräften, Beschleunigungen zu modellieren; in Ingenieurwissenschaften, Chemie, Computergrafik, Robotik und vielen anderen Bereichen.

Vektoren

Im obigen Beispiel wird der Vektor durch einen Startpunkt A und einen Endpunkt B definiert. Der Vektor kann daher als \( \vec{AB} \) bezeichnet werden.


Äquivalente Vektoren

Vektoren mit gleichen Beträgen und gleicher Richtung sind äquivalente Vektoren.

Äquivalente Vektoren


Summe von zwei Vektoren

Gegeben seien zwei Vektoren \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \), ihre Summe ist ein Vektor, der dadurch entsteht, dass der Vektor \( \vec{v_2} \) so positioniert wird, dass sein Startpunkt mit dem Endpunkt von \( \vec{v_1} \) übereinstimmt, und die Summe \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) ist der Vektor, dessen Startpunkt der Startpunkt von \( \vec{v_1} \) ist und dessen Endpunkt der Endpunkt von \( \vec{v_2} \) ist. Beachten Sie, dass \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \). Auch die Summe von zwei Vektoren stimmt mit der Diagonalen des von \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \) bestimmten Parallelogramms überein.

Vektoren addieren


Differenz von zwei Vektoren

Gegeben seien zwei Vektoren \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \), die Differenz \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) kann als Summe \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \) definiert werden und geometrisch wie unten gezeigt dargestellt werden.

Vektoren subtrahieren


Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Ein Vektor \( \vec{v_1} \), multipliziert mit einem Skalar \( k \), wird als ein Vektor \( k\vec{v_1} \) definiert, der parallel zu \( \vec{v_1} \) verläuft und dessen Richtung dieselbe ist wie die von \( \vec{v_1} \), wenn \( k \gt 0 \) und entgegengesetzt, wenn \( k \lt 0 \). Der Betrag (Länge) von \( k\vec{v_1} \) ist \( | k | \) mal der Betrag von \( \vec{v_1} \). Die Abbildung unten zeigt die Vektoren \( \vec{v_1} \), \( 2\vec{v_1} \) und \( -3 \vec{v_1} \).

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar


Vektoren in einem 3D-kartesischen Koordinatensystem

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit einem Betrag gleich 1. Im Folgenden wird ein 3D-kartesisches Koordinatensystem mit Einheitsvektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) in positiver Richtung der x-, y- und z-Achse dargestellt. Vektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) können durch ihre Komponenten wie folgt definiert werden:
\(\vec{i} = \lt 1 , 0 , 0 >\), eine Einheit entlang der x-Achse.
\(\vec{j} = \lt 0,1,0> \), eine Einheit entlang der y-Achse.
\(\vec{k} = \lt 0 ,0,1> \) , eine Einheit entlang der z-Achse.

Einheitsvektoren entlang x-, y- und z-Achse


Komponenten eines Vektors

Die Komponenten eines Vektors \(\vec{v} \) werden definiert, indem man \(\vec{v} \) als Summe von Vielfachen der Einheitsvektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) ausdrückt, wie folgt:
\(\vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}\)
oder in Komponentenform wie folgt:
\( \vec{v} = \lt 3,4,5> \)

Vektor-Komponenten

Die Komponenten eines Vektors \(\vec{v} \), definiert durch seinen Startpunkt \( A = (x_1 , y_1 ,z_1)\) und seinen Endpunkt \( B = (x_2 , y_2 ,z_2) \), sind gegeben durch
\( \vec{v} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> \)

Vektor definiert durch Anfangs- und Endpunkte


Verwenden von Vektor-Komponenten zur Berechnung von Betrag und Einheitsvektor in gleicher Richtung

Gegeben sei der Vektor \( \vec{v} = \lt a,b,c> \), sein Betrag (oder Länge) wird durch
\( ||\vec{v}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \) gegeben.
Der Einheitsvektor \( \vec{u} \), definiert als ein Vektor mit einem Betrag gleich 1 in gleicher Richtung wie \( \vec{v} \), wird durch
\( u = \dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)


Verwenden von Vektor-Komponenten zur Berechnung der Summe, Differenz und Skalarmultiplikation von Vektoren

Gegebene Vektoren \( \vec{v_1} = \lt a_1,b_1,c_1> \) und \( \vec{v_2} = \lt a_2,b_2,c_2> \), sind die Summe \( \vec{v_1} + \vec{v_2}\) , die Differenz \( \vec{v_1} - \vec{v_2}\) und die Skalarmultiplikation \( k \vec{v_1} \), k eine reale Zahl, durch
\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)
\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)
\( k \vec{v_1} = \lt k a_1,k b_1,k c_1> \)


Fragen zu 3D-Vektoren.


Detaillierte Lösungen und Erklärungen zu den folgenden Fragen sind enthalten.
1) Bestimmen Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \) und \( \vec{BA} \), wobei A und B durch ihre Koordinaten A(2,6,7) und B(0,-3,1) gegeben sind, und zeigen Sie, dass \( \vec{AB} = -1 \vec{BA} \).
2) Gegebene Vektoren \(\vec{v_1} = \lt 0,-3,2>\) und \( \vec{v_2} = \lt-3,4,5> \), finden Sie:
a) \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)
b) \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)
c) \( -3\vec{v_1} \)
d) \( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} \)
e) \( k \) so, dass \( ||\vec{v_1} + k\vec{v_2}|| = \sqrt{67} \).
3) Gegebener Vektor \(\vec{v} = \lt 0,-3,2>\), finden Sie den Einheitsvektor in gleicher Richtung wie \(\vec{v}\) und überprüfen Sie, dass seine Länge gleich 1 ist.
4) Gegebene Punkte A(2,6,7), B(0,-3,1) und C(0,3,4), finden Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) und \( \vec{BC} \) und zeigen Sie, dass \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \).
5) Gegebene Punkte A(-1,2,1), B(2,4,2) und C(5,6,3), finden Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \), \( \vec{BC} \) und \( \vec{AC} \) und bestimmen Sie, welche dieser Vektoren äquivalent sind und welche parallel sind.

6) Gegebene Vektoren \(\vec{v_1} = \lt -4,0,2>\) und \( \vec{v_2} = \lt -1,-4,2> \), finden Sie den Vektor \( \vec{v} \) so, dass \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \)
7) Finden Sie einen Vektor in gleicher Richtung wie der Vektor \( \vec{v} = \lt-4,2,2> \), aber mit der doppelten Länge von \( \vec{v} \).
8) Finden Sie einen Vektor in entgegengesetzter Richtung des Vektors \( \vec{v} = \lt -1,2,2> \), aber mit einer Länge von 5 Einheiten.
9) Gegebener Vektor \( \vec{v} = \lt -1,2,2> \), finden Sie eine reale Zahl \( k \), sodass \( ||k \vec{v} || = 1/5 \).
10) Finden Sie \( b \) und \( c \) so, dass die Vektoren \(\vec{v_1} = \lt -4,6,2>\) und \( \vec{v_2} = \lt 2,b,c> \) parallel sind.
11) Sind die drei Punkte A(2,6,7), B(1,4,5) und C(0,2,3) kollinear?
12) Ein Würfel mit einer Seitenlänge von 2 Einheiten ist unten dargestellt.
a) Finden Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \), \( \vec{HG} \), \( \vec{AC} \) und \( \vec{AG} \).
b) Welche der Vektoren in Teil a) sind äquivalent?
c) Beweisen Sie algebraisch, dass \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).
d) Finden Sie \( || \vec{AG} || \).
e) Finden Sie den Einheitsvektor in gleicher Richtung wie der Vektor \( \vec{AG} \).

Würfel

Detaillierte Lösungen und Erklärungen zu diesen Fragen.

Referenzen und Links

Mehr Mathematik für die Mittelstufe (Klassen 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Mehr Mathematik für die Oberstufe (Klassen 10, 11 und 12) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Mehr Mathematik für die Grundschule (Klassen 4 und 5) mit kostenlosen Fragen und Problemen mit Antworten
Startseite