3D-Vektoren werden zusammen mit Operationen wie Summe, Differenz und Skalarmultiplikation eingeführt. Auch Eigenschaften wie der Betrag sind enthalten. Fragen mit ausführlichen Lösungen sind enthalten.
Ein Vektor ist eine Größe, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung hat. Er wird geometrisch durch ein Liniensegment dargestellt, dessen Länge der Betrag ist, und einen Pfeil, der seine Richtung anzeigt, wie im folgenden Bild gezeigt. Vektoren werden in der Physik verwendet, um Größen mit Größen und Richtungen wie Geschwindigkeiten, Kräften, Beschleunigungen zu modellieren; in Ingenieurwissenschaften, Chemie, Computergrafik, Robotik und vielen anderen Bereichen.
Im obigen Beispiel wird der Vektor durch einen Startpunkt A und einen Endpunkt B definiert. Der Vektor kann daher als \( \vec{AB} \) bezeichnet werden.
Vektoren mit gleichen Beträgen und gleicher Richtung sind äquivalente Vektoren.
Gegeben seien zwei Vektoren \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \), ihre Summe ist ein Vektor, der dadurch entsteht, dass der Vektor \( \vec{v_2} \) so positioniert wird, dass sein Startpunkt mit dem Endpunkt von \( \vec{v_1} \) übereinstimmt, und die Summe \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) ist der Vektor, dessen Startpunkt der Startpunkt von \( \vec{v_1} \) ist und dessen Endpunkt der Endpunkt von \( \vec{v_2} \) ist. Beachten Sie, dass \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \). Auch die Summe von zwei Vektoren stimmt mit der Diagonalen des von \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \) bestimmten Parallelogramms überein.
Gegeben seien zwei Vektoren \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \), die Differenz \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) kann als Summe \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \) definiert werden und geometrisch wie unten gezeigt dargestellt werden.
Ein Vektor \( \vec{v_1} \), multipliziert mit einem Skalar \( k \), wird als ein Vektor \( k\vec{v_1} \) definiert, der parallel zu \( \vec{v_1} \) verläuft und dessen Richtung dieselbe ist wie die von \( \vec{v_1} \), wenn \( k \gt 0 \) und entgegengesetzt, wenn \( k \lt 0 \). Der Betrag (Länge) von \( k\vec{v_1} \) ist \( | k | \) mal der Betrag von \( \vec{v_1} \). Die Abbildung unten zeigt die Vektoren \( \vec{v_1} \), \( 2\vec{v_1} \) und \( -3 \vec{v_1} \).
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit einem Betrag gleich 1. Im Folgenden wird ein 3D-kartesisches Koordinatensystem mit Einheitsvektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) in positiver Richtung der x-, y- und z-Achse dargestellt. Vektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) können durch ihre Komponenten wie folgt definiert werden:
\(\vec{i} = \lt 1 , 0 , 0 >\), eine Einheit entlang der x-Achse.
\(\vec{j} = \lt 0,1,0> \), eine Einheit entlang der y-Achse.
\(\vec{k} = \lt 0 ,0,1> \) , eine Einheit entlang der z-Achse.
Die Komponenten eines Vektors \(\vec{v} \) werden definiert, indem man \(\vec{v} \) als Summe von Vielfachen der Einheitsvektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) ausdrückt, wie folgt:
\(\vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}\)
oder in Komponentenform wie folgt:
\( \vec{v} = \lt 3,4,5> \)
Die Komponenten eines Vektors \(\vec{v} \), definiert durch seinen Startpunkt \( A = (x_1 , y_1 ,z_1)\) und seinen Endpunkt \( B = (x_2 , y_2 ,z_2) \), sind gegeben durch
\( \vec{v} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> \)
Gegeben sei der Vektor \( \vec{v} = \lt a,b,c> \), sein Betrag (oder Länge) wird durch
\( ||\vec{v}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \) gegeben.
Der Einheitsvektor \( \vec{u} \), definiert als ein Vektor mit einem Betrag gleich 1 in gleicher Richtung wie \( \vec{v} \), wird durch
\( u = \dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)
Gegebene Vektoren \( \vec{v_1} = \lt a_1,b_1,c_1> \) und \( \vec{v_2} = \lt a_2,b_2,c_2> \), sind die Summe \( \vec{v_1} + \vec{v_2}\) , die Differenz \( \vec{v_1} - \vec{v_2}\) und die Skalarmultiplikation \( k \vec{v_1} \), k eine reale Zahl, durch
\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)
\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)
\( k \vec{v_1} = \lt k a_1,k b_1,k c_1> \)
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