Es wird ein Schritt-für-Schritt-Rechner für die Newtonverfahren vorgestellt.
Newtons Verfahren zur Approximation der Lösung einer Gleichung \( f(x) = 0 \) ist ein numerischer iterativer Prozess, geschrieben als
\[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) } \quad \text{für} \quad n = 0,1,2,3,... \]
und deshalb beginnen wir mit einem Anfangswert \( x_0 \) , berechnen wir \( x_1 \) mit dem oben beschriebenen Verfahren und verwenden dann \( x_1 \), um \( x_2 \ ) und so weiter.
Der Prozess wird fortgesetzt, bis eine Konvergenz der Lösung erreicht ist.
Beispiel
Sei \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) eine zu lösende Gleichung.
Diese Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden und daher können wir die Newton-Methode verwenden, um eine Näherungslösung zu finden.
Der erste Schritt besteht darin, die Gleichung wie folgt so zu schreiben, dass die rechte Seite gleich Null ist.
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
und das schreibe \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
die Sie in den untenstehenden Rechner eingeben müssen.
Sie haben auch die Möglichkeit, einen Anfangswert \( x_0 \) nahe der Näherungslösung und auch die Anzahl der benötigten Iterationen auszuwählen.
Beachten Sie das
1) Bei Gleichungen mit vielen Lösungen wie \( \sin(x) + 1/x \) hängt alles vom Anfangswert \( x_0 \) ab, den Sie zuweisen. Es liefert normalerweise die nächstliegende Näherungslösung für \( X_0 \).
2) Die Methode bricht zusammen, wenn an irgendeinem Punkt im Iterationsprozess \( x_n \) außerhalb des Bereichs von \( f(x) \) oder \( f'(x) \) liegt oder wenn \( f'( x) = 0 \). Es kann möglich sein, einfach den Anfangswert \( x_0 \) zu ändern, um eine Annäherung an die Lösung zu erhalten.
3) Möglicherweise möchten Sie \( f(x) \) grafisch darstellen, um grafisch einen besseren Anfangswert \( x_0 \) für die Verwendung im Rechner zu haben.
1 - Geben Sie die Funktion \( f(x) \) ein, bearbeiten Sie sie, klicken Sie auf "Enter Function" und überprüfen Sie dann, was Sie eingegeben haben. Geben Sie den Anfangswert \( x_0 \) ein, der der gesuchten Lösung möglichst nahe kommen soll.
2 - Klicken Sie auf "Calculate".
3 – Die Ausgabe umfasst die Ableitung \( f'(x) \) und die numerischen Werte von \( x_n \), \( f(x_n) \) und \( f'(x_n) \)
Beachten Sie, dass
Beachten Sie das
1) Die fünf verwendeten Operatoren sind: + (Plus), - (Minus), / (Division), ^ (Potenz) und * (Multiplikation). (Beispiel: f(x) = x^3 - 1/x. (weitere Hinweise zu Bearbeitungsfunktionen finden Sie weiter unten)
2) Der natürliche Logarithmus \( \ln(x) \) wird als log(x) eingegeben, der natürliche Exponentialwert \( e^x \) als exp(x) .
3) Eine Funktion \( f(x) \) mit einer Potenz \(n\) wird eingegeben als: \( (f(x))^n \). Beispiel: \( \sin^2(2x-1) \) wird als eingegeben (sin(2x-1))^2.
4) Brüche werden als Dezimalzahlen eingegeben. Beispiel 1/2 wird als 0,5 eingegeben.
Hinweise: Verwenden Sie in Bearbeitungsfunktionen Folgendes:
1 - Die fünf verwendeten Operatoren sind: + (Plus), - (Minus), / (Division), ^ (Potenz) und * (Multiplikation). (Beispiel: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - Die Quadratwurzelfunktion der Funktion wird als (sqrt) geschrieben. (Beispiel: sqrt(x^2-1) für \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - Die Exponentialfunktion wird als exp(x) geschrieben. (Beispiel: exp(x+2) für \( e^{x+2} \) )
4 - Die Log-Basis-e-Funktion wird als log(x) geschrieben. (Beispiel: log(x^2-2) für \( \ln(x^2 - 2 \) )
Hier sind einige Beispiele für Funktionen, die Sie zum Üben kopieren und einfügen können:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1