Es wird ein Online-Rechner für die Gleichung einer Kugel vorgestellt, wenn vier Punkte auf der Kugel gegeben sind.
Die Gleichung einer Kugel, deren Mittelpunkt im Punkt \( (h,k,l) \) liegt und den Radius \( r \) hat, ist gegeben durch
\[ (x-h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 \]
Wenn wir die obige Gleichung erweitern und Terme gruppieren, erhalten wir
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2xh - 2 y k - 2 z l + h^2 + k^2 + l^2 = r^2 \]
oder
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 2 x h + 2 y k + 2 z l + r^2 - ( h^2 + k^2 + l^2) \]
Sei \( A = 2 h \) , \( B = 2 k \) , \( C = 2 l \) und \( D = r^2 - (h^2 + k^2 + l^2) \) und schreiben Sie das Obige wie folgt um
\[ A x + B y + C z + D = x^2 + y^2 + z^2 \]
Für die 4 Punkte mit den Koordinaten \( (x_1 , y_1 , z_1 ) \), \( (x_2 , y_2 , z_2 ) \), \( (x_3 , y_3 , z_3 ) \) und \( (x_4 , y_4 , z_4 ) \) Um auf derselben Kugel zu liegen, muss das folgende System aus vier Gleichungen mit den Unbekannten \( A, B , C \) und \( D \) eine Lösung haben:
\[ \begin{align*}
A x_1 + B y_1 + C z_1 + D & = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \\
A x_2 + B y_2 + C z_2 + D & = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \\
A x_3 + B y_3 + C z_3 + D & = x_3^2 + y_3^2 + z_3^2 \\
A x_4 + B y_4 + C z_4 + D & = x_4^2 + y_4^2 + z_4^2
\end{align*} \]
Unter Verwendung der Cramer-Regel lösen wir nach \( A, B , C \) und \ ( D \) wie folgt:
\[ M = \begin{vmatrix}
&x_1&&y_1&&z_1&&1&\\
\\
&x_2&&y_2&&z_2&&1&\\
\\
&x_3&&y_3&&z_3&&1&\\
\\
&x_4&&y_4&&z_4&&1&\\
\end{vmatrix} \]
und
\[ A = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2&&y_1&&z_1&&1&\\
\\
&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 &&y_2&&z_2&&1&\\
\\
&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&&y_3&&z_3&&1&\\
\\
&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&&y_4&&z_4&&1&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
\[ B = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1&&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2&&z_1&&1&\\
\\
&x_2&&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2&&z_2&&1&\\
\\
&x_3&&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&&z_3&&1&\\
\\
&x_4&&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&&z_4&&1&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
\[ C = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1&&y_1&&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 &&1&\\
\\
&x_2&&y_2&&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2&&1&\\
\\
&x_3&&y_3&&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&&1&\\
\\
&x_4&&y_4&&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&&1&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
\[ D = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1&&y_1&&z_1&&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2&\\
\\
&x_2&&y_2&&z_2&&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2&\\
\\
&x_3&&y_3&&z_3&&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&\\
\\
&x_4&&y_4&&z_4&&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
Geben Sie die Koordinaten von vier 3D-Punkten ein: