Une équation d'un calculateur de sphère, étant donné quatre points sur la sphère, est présentée.
L'équation d'une sphère dont le centre est au point \( (h,k,l) \) et de rayon \( r \) est donnée par
\[ (x-h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 \]
En développant l'équation ci-dessus et en regroupant les termes, nous obtenons
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2xh - 2 y k - 2 z l + h^2 + k^2 + l^2 = r^2 \]
ou
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 2 x h + 2 y k + 2 z l + r^2 - ( h^2 + k^2 + l^2) \]
Soit , \( A = 2 h \) , \( B = 2 k \) , \( C = 2 l \) et \( D = r^2 - (h^2 + k^2 + l^2) \) et réécrivez ce qui précède comme suit
\[ A x + B y + C z + D = x^2 + y^2 + z^2 \]
Pour les 4 points de coordonnées \( (x_1 , y_1 , z_1 ) \), \( (x_2 , y_2 , z_2 ) \), \( (x_3 , y_3 , z_3 ) \) et \( (x_4 , y_4 , z_4 ) \) pour être sur la même sphère, le système suivant de quatre équations aux inconnues \( A, B , C \) et \( D \) doit avoir une solution :
\[ \begin{align*}
A x_1 + B y_1 + C z_1 + D & = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \\
A x_2 + B y_2 + C z_2 + D & = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \\
A x_3 + B y_3 + C z_3 + D & = x_3^2 + y_3^2 + z_3^2 \\
A x_4 + B y_4 + C z_4 + D & = x_4^2 + y_4^2 + z_4^2
\end{align*} \]
En utilisant la règle de Cramer, nous résolvons pour \( A, B , C \) et \( D \) comme suit :
\[ M = \begin{vmatrix}
&x_1&&y_1&&z_1&&1&\\
\\
&x_2&&y_2&&z_2&&1&\\
\\
&x_3&&y_3&&z_3&&1&\\
\\
&x_4&&y_4&&z_4&&1&\\
\end{vmatrix} \]
et
\[ A = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2&&y_1&&z_1&&1&\\
\\
&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 &&y_2&&z_2&&1&\\
\\
&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&&y_3&&z_3&&1&\\
\\
&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&&y_4&&z_4&&1&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
\[ B = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1&&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2&&z_1&&1&\\
\\
&x_2&&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2&&z_2&&1&\\
\\
&x_3&&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&&z_3&&1&\\
\\
&x_4&&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&&z_4&&1&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
\[ C = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1&&y_1&&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 &&1&\\
\\
&x_2&&y_2&&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2&&1&\\
\\
&x_3&&y_3&&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&&1&\\
\\
&x_4&&y_4&&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&&1&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
\[ D = \dfrac{\begin{vmatrix}
&x_1&&y_1&&z_1&&x_1^2 + y_1^2 + z_1^2&\\
\\
&x_2&&y_2&&z_2&&x_2^2 + y_2^2 + z_2^2&\\
\\
&x_3&&y_3&&z_3&&x_3^2 + y_3^2 + z_3^2&\\
\\
&x_4&&y_4&&z_4&&x_4^2 + y_4^2 + z_4^2&\\
\end{vmatrix}}{M} \]
Entrez les coordonnées des quatre points en 3D :