矢量加法和标量乘法 (Vector Addition and Scalar Multiplication)

关于向量的加法和标量乘法的教程。

矢量是用于表示具有大小和方向的概念（例如力或速度）的数学量。
下图显示了向量 v，其起点为 A，终点为 B。

向量的起始点和终止点

向量的组成部分

向量 v 的分量形式，其起点为 A(a1,a2)，终点为 B(b1,b 2) 由下式给出

v = < b1 - a1 , b2 - a2 >

如果向量由其分量给出 v = < v1 , v2 > ，它的大小|| v|| 是（谁）给的
|| v || = √(v1 2 + v2 2)

示例1： 求向量 v 以初始点 A(2,3) 和终点 B(4,5) 为单位的分量和大小。
例1的解决办法：
使用上面的定义来找到向量 v
v = < v1 , v2 > = < b1 - a1 , b2 - a2 >
= < 4 - 2 , 5 - 3 > = < 2 , 2 >
和它的大小 || v ||
|| v || = √(v1 2 + v2 2)
= √(2 2 + 2 2) = √(8) = 2 √(2)

向量的标量乘法

向量 v 的标量乘法 v = < v1 , v2 > 实数 k 是由下式给出的向量 k v
k v = < k v1 , k v2 >

两个向量的加法 (Addition of two Vectors)


由其分量给出的两个向量的加法： v(v1 , v2) 和 u (u1 , u2) 给出向量
v + u = < v1 + u1 , v2 + u2>
下面是一个 HTML5 应用程序，可用于理解两个向量相加的几何解释。 输入向量 A 和 B 的分量，然后使用按钮绘制、添加、放大和缩小以及平移轴系统。
向量 A 的分量
向量 B 的组成部分
变焦 (Zoom)
平移轴原点
>

An online

向量加法计算器可用于检查以下示例的任何答案。

示例2： 向量 v 和 u 由其分量给出，如下所示
v = < -2 , 3> and u = < 4 , 6>
找出以下每个向量。
1 : v + 2 u
2 : u - 4 v
例2的解决方案：
首先进行标量乘法 2 u 然后进行加法

1 : v + 2 u = <-2 , 3> + 2 <4 , 6> = <-2 , 3> + <8 , 12>
= <6 , 15>
2 : u - 4 v = <4 , 6> + (- 4) <-2 , 3> = <4 , 6> + <8 , -12>
= <12 , -6>

示例 3： v 和 u 是由下式给出的向量
v = < 1 , -2> and u = < u1 , u2>
找到向量 u 的分量 u1 和 u2，使得 v + 3 u = 0。
例3的解决方案：
我们首先根据 u1 和 u2 获得 v + 3 u

v + 3 u = <1 , -2> + 3 <u1 , u2>

= <1 , -2> + <3 u1 , 3 u2>
= <1 + 3 u1 , -2 + 3 u2>
为了使上面的向量等于向量 0，它的两个分量中的每一个都必须等于 0，因此
1 + 3 u1 = 0 and -2 + 3 u2 = 0
求解第一个方程的 u1 和第二个方程的 u2
u1 = -1 / 3 and u2 = 2 / 3

习题
1. 给定向量
v = <-3 , 2> and u = <-2 , 0>,
求下列向量。
- v + 2 u , v - (1/2) u
2. 向量 v 和 u 由下式给出
v = <4 , 1> and u = <u1 , u2>,
找到分量 u1 和 u2 使得 2 v - 3 u = 0。

以上练习的答案
1.
- v + 2 u = <- 1 , -2>,
v - (1/2) = <- 2 , 2>,
2.
u1 = 8 / 3
u2 = 2 / 3

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