求向量的大小和方向； 问题与解决方案。
如果 向量 v 由其分量定义如下： v = < a , b > ，其大小 || v|| 由（谁）给出
问题1 求矢量 v 的大小和方向，由其分量给出：
v = < 2 , 2>
问题1的解答
震级： || v || = √(22 + 22) = 2 √ 2
方向θ： tan(θ) = 2 / 2 = 1
v 的末端位于象限 I，因此 θ = arctan(1) = 45° ,
问题2 计算由其分量给出的向量 u 的大小和方向：
u = < - 7 √3 , 7>
问题2的解答
震级： || u || = √((- 7 √3)2 + 72) = 14
方向θ： tan(θ) = 7 / (- 7 √3) = - 1 / √3
u 的末端位于象限 II，因此 θ = 180° - arctan(1 / √3) = 180 - 30 = 150° ,
问题3 计算由其分量给出的向量 v 的大小和方向：
v = < - 5 , - 5√3 >
问题3的解答
震级： || v || = √((- 5)2 + (- 5√3)2) = 10
方向θ： tan(θ) = - 5√3 / - 5 = √3
u 的末端位于象限 III，因此 θ = 180 + arctan(√3) = 180 + 60 = 240° ,
问题4 计算向量 u 和 3 u 的大小和方向，并将其与由下式给出的 u 进行比较
u = < 4 , 1 >
问题4的解答
3 u 通过应用标量乘法规则计算
3 u = < 3 × 4 , 3 × 1 > = < 12 , 3 >
震级： || u || = √(42 + 12) = √ 17
震级： || 3 u || = √(122 + 32) = 3 √17
矢量 u 的方向： θ1: tan(θ1) = 1 / 4
u 的末端位于象限 I，因此 θ1 = arctan(1/4) ≅ 14.04°,
矢量 3u 的方向： θ2: tan(θ2) = 3 / 12 = 1 / 4
3 u 的末端位于象限 I，因此 θ2 = arctan(1/4) ≅ 14.04°,
由于 u 乘以 3，因此 3 u 的大小是 u 大小的 3 倍，但方向不变。
问题5 计算向量 u 和 - 6 u 的大小和方向，并与由下式给出的 u 进行比较
u = < 1 , 1 >
问题5的解答
应用标量乘法规则求出 - 6 u。
- 6 u = < - 6 × 1 , - 6 × 1 > = < - 6 , - 6>
震级： || u || = √(12 + 12) = √2
震级： || - 6 u || = √((-6)2 + (-6)2) = 6 √2
矢量 u 的方向： θ1: tan(θ1) = 1 / 1
因此，u 的末端位于象限 I。 θ = arctan(1) = 45°,
矢量 -6u 的方向： θ2: tan(θ2) = - 6 / - 6 = 1
- 6u 的末端位于象限 III，因此 θ = 180 + arctan(1) = 225 °,
由于 u 乘以 - 6，所以 - 6 u 的大小是 u 大小的 6 倍，但方向改变了 180°。 因为- 6 u 的端边与u 的端边相反； 这是由于负号 - 6 造成的。
问题6 计算向量 u 的分量，其大小为 5，方向由标准位置角度且等于 270° 给出。
问题6的解答
令 u = < a , b >。 根据上面给出的公式，
a = || u || cosθ and b = || u || sinθ
哪里
|| u || = 5 and θ = 270°
因此
a = 5 cos(270°) = 0
b = 5 sin(270°) = - 5
问题7 两个向量 u 和 v 的大小等于 2 和 4，方向由标准位置的角度给出，等于 90° 。 和180° 分别。 求向量 2 u + 3 v 的大小和方向
问题7的解答
让我们首先使用上面给出的公式来求出 u 和 v 的分量。
u = < 2 cos(90°) , 2 sin(90°) > = < 0 , 2 >
v = < 4 cos(180°) , 4 sin(180°) > = < - 4 , 0 >
令 w = 2 u + 3 v 并找出 w 的分量。
w = 2 < 0 , 2 > + 3 < - 4 , 0 > = < - 12 , 4 >
震级： || w || = √((- 12)2 + 42) = 4√(10)
方向θ： tan(θ) = 4 / (-12) = - 1 / 3
w 的末端位于象限 II，因此 θ = 180 - arctan(1/3) ≅ 161.57°