9 年级代数表达式模式

问题

问题 1：识别模式并写出下一项：\( 1, x^2 , x^4 , x^6 , x^8 , --- \)。
问题 2：扩展该模式并写出下一项：\( x^{10} , x^8 , x^6 , x^4 , x^2 , --- \)。
问题3：扩展模式：\( x + y , 2 x + y , 3 x + y , 4 x + y , --- \)。
问题 4：识别模式并写出下一项：\(2x , 4x + 1, 6x + 2, 8x + 3, --- \)。
问题 5：识别模式并找到下一项：\( x + y + 1, 2 x + 3 y + 1 , 3 x + 5 y + 1 , 4 x + 7 y + 1 ，---\)。
问题 6：识别模式并写出下一项： \( x^3 + 10 x, x^3 + 9 x , x^3 + 8 x , x^3 + 7 x , - ——\）。
问题 7：扩展该模式并写出下一项：\(3a + 2 , 6a + 5 , 12 a + 11 , 24 a + 23 , --- \)。
问题 8：识别模式并写出下一项：: \( 1 , 2 x^2, 4 x^4, 8 x^6, 16 x^8 , --- \)。
问题 9：扩展该模式并写出下一项：: \( x + y , x^2 y + y^2 x , x^3 y^2 + y^3 x^2 , x^4 y^3 + y^4 x^3 , ---\)。
问题 10：扩展模式并写出下一项：: \( x^{10} \; y^{10}, x^{11} \; y^{9} , x^ {12} \; y^{8} , x^{13} \; y^{7}, --- \)。

解决方案

问题 1 的解答：该模式是通过将各项乘以 \( x^2 \) 以获得下一项而获得的。
\( 1 \) ：第一项
\( 1 \times \color{red}{x^2} = x^2 \)
\( x^2 \times \color{red}{x^2} = x^{2+2} = x^4 \)
\( x^4 \times \color{red}{x^2} = x^{4+2} = x^6 \)
\( x^6 \times \color{red}{x^2} = x^{6+2} = x^8 \)
下一项是： \[ x^8 \times \color{red}{x^2} = x^{8+2} = x^{10} \]
问题2的解答：该模式是通过除以\(x^2 \)得到下一项而得到的。
\( x^{10} \) ：第一项
\(\dfrac{x^{10}}{\color{red}{x^2}} = x^{10-2} = x^8 \)
\(\dfrac{x^{8}}{\color{red}{x^2}} = x^{8-2} = x^6 \)
\(\dfrac{x^{6}}{\color{red}{x^2}} = x^{6-2} = x^4 \)
\(\dfrac{x^{4}}{\color{red}{x^2}} = x^{4-2} = x^2 \)
下一项是：\[ \dfrac{x^{2}}{\color{red}{x^2}} = 1 \]
问题3的解答：该模式是通过添加\(x\)来获得下一项而获得的。
\( x + y \) ：第一项
\( x + y + \颜色{红色}{x} = 2 x + y \)
\( 2 x + y + \颜色{红色}{x} = 3 x + y \)
\( 3 x + y + \颜色{红色}{x} = 4 x + y \)
下一项是 \[ 4 x + y + \color{red}{x} = 5x + y\]。
问题 4 的解答：该模式是通过添加 \(2x + 1\) 来获得下一项而获得的。
\( 2 x \) ：第一项
\( 2x + \颜色{红色}{2 x + 1} = 4x + 1\)
\( 4x + 1 + \颜色{红色}{2 x + 1} = 6x + 2\)
\( 6x + 2 + \颜色{红色}{2 x + 1} = 8 x + 3 \)
下一项是 \[ 8 x + 3 + \color{red}{2 x + 1} = 10 x + 4\]。
问题 5 的解答：该模式是通过添加 \( x + 2 y \) 来获得下一项而获得的。
\( x + y + 1 \) ：第一项
\( x + y + 1 + \颜色{红色}{x + 2y} = 2x + 3y + 1 \)
\( 2x + 3y + 1 + \颜色{红色}{x + 2y} = 3x + 5y + 1\)
\( 3x + 5y + 1 + \颜色{红色}{x + 2y} = 4x + 7y + 1\)
下一项是 \[ 4x + 7y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 5 x + 9y + 1\]。
问题 6 的解答：该模式是通过减去 \( x \) 得到下一项而得到的。
\( x^3 + 10 x \) ：第一项
\( x^3 + 10 x \颜色{红色}{- x} = x^3 + 9x \)
\( x^3 + 9x \颜色{红色}{- x} = x^3 + 8 x \)
\( x^3 + 8x \颜色{红色}{- x} = x^3 + 7 x \)
下一项是 \[ x^3 + 7 x \color{red}{- x} = x^3 + 6x \]。
问题 7 的解答：该模式是通过加倍并添加 \( 1 \) 以获得下一项而获得的。
\( 3a + 2 \) ：第一项
\( \颜色{红色}{2}(3a + 2) \颜色{红色}{+1} = 6 a + 4 + 1 = 6 a + 5 \)
\( \颜色{红色}{2}(6 a + 5) \颜色{红色}{+1} = 12 a + 10 + 1 = 12 a + 11 \)
\( \颜色{红色}{2}(12 a + 11) \颜色{红色}{+1} = 24 a + 22 + 1 = 24 a + 23 \)
下一项是 \[ \color{red}{2}(24 a + 23) \color{red}{+1} = 48 a + 46 + 1 = 48 a + 47 \]
问题8的解答：该模式是通过乘以 \( 2 x^2 \) 得到下一项而得到的。
\( 1 \) ：第一项
\( 1 \颜色{红色}{ \乘2 x ^ 2} = 2 x ^ 2 \)
\( 2 x^2 \颜色{红色}{ \乘2 x^2} = 4 x^{2+2} = 4 x^4 \)
\( 4 x^4 \颜色{红色}{ \乘2 x^2} = 8 x^{4+2} = 8 x^6 \)
\( 8 x^6 \颜色{红色}{ \乘2 x^2} = 16 x^{6+2} = 16 x^8 \)
下一项是 \[ 16 x^8 \color{red}{ \times 2 x^2} = 32 x^{8+2} = 32 x^{10} \]
问题9的解答：该模式是通过与\( x y \)相乘以获得下一项而获得的。
\( x + y \) ：第一项
\( (x + y) \颜色{红色}{ x y} = x^2 y + y^2 x \)
\( (x^2 y + y^2 x) \颜色{红色}{ x y} = x^3 y^2 + y^3 x^2 \)
\( (x^3 y^2 + y^3 x^2) \颜色{红色}{ x y} = x^4 y^3 + y^4 x^3 \)
下一项是 \[ (x^4 y^3 + y^4 x^3) \color{red}{ x y} = x^5 y^4 + y^5 x^4 \]。
问题10的解答：该模式是通过乘以\(\dfrac{x}{y}\)得到下一项而得到的。
\( x^{10} \; y^{10} \) ：第一项
\( x^{10} \; y^{10} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{10+1} \; y^{10-1} = x ^{11} \; y^{9} \)
\( x^{11} \; y^{9} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{11+1} \; y^{9-1} = x ^{12}\;y^{8}\)
\( x^{12} \; y^{8} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{12+1} \; y^{8-1} = x ^{13} \; y^{7} \)
下一项是 \[ x^{13} \; y^{7} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{13+1} \; y^{7-1} = x^{14} \; y^{6} \]