转置矩阵 (Transpose matrix)

矩阵转置的定义 ( Definition of the Transpose of a Matrix)

如果 M 是一个 m × n 矩阵，然后 M 的转置，表示为 M^T ，是 n×m 矩阵的行和列互换得到的矩阵 M.
这些是矩阵转置的示例。
a)

矩阵 A 有一行，大小（或顺序） 1 ×3 。矩阵 A 的转置是通过将矩阵的行交换为列来获得的。因此矩阵 A 的转置大小为 3 × 1 并用 A^T 表示，由下式给出
Transpose Row Matrix

b)
Column Matrix
矩阵 B 的转置，该矩阵有一列，大小为 4 × 1，是将矩阵的列换成行得到的。因此矩阵 B 的转置阶数为 1 × 4 并表示为 B^T 由下式给出
Transpose of Column Matrix

c)
2 by 3 Matrix
矩阵 C 的大小为 2 × 3 。该矩阵的转置是通过将矩阵的行交换为列（或将列交换为行）来获得的。因此，矩阵 C 的转置 C^T 具有顺序 3 × 2 由下式给出
Transpose of a 2 by 3 Matrix

d)
\( D = \begin{bmatrix} 2 & - 5 & 9 \\ -7 & 0 & 9 \\ 1 & -2 & 11 \end{bmatrix} \)
阶数为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵 \( D \) 的转置是通过将矩阵的行交换为列（或将列交换为行）来获得的。因此矩阵 \( D \) 的转置 \( D^T \) 的阶数为 \( 3 \times 3 \) ，由下式给出
\( D^T = \begin{bmatrix} 2 & -7 & 1 \\ - 5 & 0 & -2 \\ 9 & 9 & 11 \end{bmatrix} \)
注意给定矩阵转置的行是矩阵的列，转置的列是矩阵的行。

矩阵转置的性质 (Properties of matrix transpose)

下面给出了矩阵转置的一些最重要的属性。

\( (A^T)^T = A \).
\( (AB)^T = B^T A^T \)
\( (A+B)^T = A^T + B^T \)
\( (k A)^T = k A^T \) , k 是实数。
\( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)
\( Det(A^T) = Det(A) \).
\( A^T = A \) 当且仅当 \( A \) 是对称矩阵.
\( A^{-1} = A^T \) 当且仅当 \( A \) 是一个正交（方）矩阵。

示例及解决方案 (Examples with Solutions)

例子 1
求矩阵的转置：
a) \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \) b) \( B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \) c) \( C = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 1 & -4 \\ 0 & -1 \\ 7 & -4 \\ \end{bmatrix} \)

解决方案
我们通过交换行和列来找到矩阵的转置，如下所示：
a) \( A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) b) \( B^T = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \) c) \( C^T = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 & 7 \\ -7 & -4 & -1 & -4 \end{bmatrix} \)

例子 2
矩阵 \( A \) 和 \( B \) 由下式给出 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \) , \( B = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \).
证明 \( (AB)^T = B^T A^T \) （验证上面的性质 2）。

解决方案
计算\(AB\)
\( AB = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} \)
计算 \( (AB)^T \)
\( (AB)^T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} \)

确定\(A^T\)和\(B^T\)
\( A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) , \( B^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
计算 \( B^T A^T \)
\( B^T A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} \)
因此 \( (AB)^T = B^T A^T \)

例子 3
设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)
显示那 \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \) (验证上面的属性 5).

解决方案
计算\(A^T\)
\( A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)
使用逆矩阵的公式一个\( 2 \times 2 \) 矩阵\( \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \\ \end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{xw - yz} \begin{bmatrix} w & - y \\ - z & x \\ \end{bmatrix} \) to find \( (A^T)^{-1} \)
\( (A^T)^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

使用上面给出的 \( 2 \times 2 \) 矩阵的逆矩阵的相同公式来找到 \( A^{-1} \)
\( A^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & -\dfrac{1}{2}\\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

我们现在计算 \( (A^{-1}) ^T \)
\( (A^{-1}) ^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

因此我们得出结论 \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \).

例子 4
设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
证明 \( Det(A^T) = Det(A) \) （验证上面的属性 6）

解决方案
使用上面一行计算 \( Det(A) \)
使用上面一行计算 \( Det(A) \) \( Det(A) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 (0 - 2(-2) ) = 2 \)

计算 \( A^T \)
\( A^T \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
使用最左边的列计算 \( Det(A^T) \)
\( Det(A^T) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 ( 0 - 2(-2)) = 2 \)
因此我们得出结论 \( Det(A^T) = Det(A) \)

例子 5
使用上面的属性 7 可以证明矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3\\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix} \) 不是对称矩阵。

解决方案
计算\(A^T\)
\( A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} \)
我们可以验证 \( A_{2,3} = 5 \) 处的条目和 \( A^T_{2,3} = - 5 \) 处的条目，因此矩阵 \( A^T \) 和 \ ( A \) 不相等，这意味着矩阵 \( A \) 不对称。

问题（以下给出解决方案） (Problems)

第1部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)，计算并证明矩阵 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 都是对称的。
第2部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \) 和 \( B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \) ，求矩阵 \( (A+B)^T \)
第3部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \). 证明 \( A A^T = A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 因此 \( A^{-1} = A^T \)。

上述问题的解决方案 (Solutions to the above problems)

第1部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \).
评估 \( A^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \)

评估 \( A^T A \)
\( A^T A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & -3\\ -3 & -3 & 9 \end{bmatrix} \)

计算 \( A A^T \)
\( A A^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
两个矩阵 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 都是对称的。

第2部分
计算 \( A+B \)
\( A+B = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)
请注意，矩阵 \( A+B \) 是对称的，因此
\( (A + B)^T = A + B = \begin{bmatrix} -5 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)

第3部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)
评价 \( A^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)

计算\( A A^T \)
\( A A^T = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

计算 \( A^T A\)
\( A^T A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

结果表明 \( A A^T = A^T A = I_3 \) 并且根据定义逆矩阵, \( A^{-1} = A^T\)。
请注意，这些类型的矩阵称为正交矩阵。