提供了有关矩阵的示例和问题及其解决方案。
以下是矩阵的示例。
例子-1
下面的矩阵有 3 行 6 列。
矩阵 A（大写字母 A）的行 i 和列 j 中的条目（或元素）由符号 \((A)_{ij} 表示 \) 或 \( a_{ij} \) （小写字母 a）。
在如下所示的矩阵A中， \(a_{11} = 5 \), \(a_{12} = 2 \), etc ... or \( (A)_{11} = 5 \), \( (A)_{12} = 2 \), etc ... \[ \textbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 7 & -3 \\ -9 & -2 & -7 & 11\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ \end{bmatrix} \]
方阵的行数与列数相等。
对于下面的每个矩阵，确定阶并指出它是否是方阵。
\[
a) \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 3 \\
4 & -3 & -7 & -9\\
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
b) \begin{bmatrix}
-6 & 2 & 0 \\
3 & -3 & 4 \\
-5 & -11 & 9
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
\\
c) \begin{bmatrix}
1 & -2 & 5 & -2
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
d) \begin{bmatrix}
-2 & 0 \\
0 & -3
\end{bmatrix}
\;\;\;\;
e) \begin{bmatrix}
3
\end{bmatrix}
\]
解决方案
a) 顺序：2×4。 行和列的数量不相等，因此不是方阵。
b) 顺序：3×3。 行数和列数相等，因此这个矩阵是方阵。
c) 顺序：1×4。 行和列的数量不相等，因此不是方阵。 一行矩阵称为行矩阵（或行向量）。
d) 顺序： 2×2. 行数和列数相等，因此这是方阵。
e) 顺序： 1×1. 行数和列数相等，因此这是方阵。
单位矩阵 In 是一个 n×n 方阵，其对角线上的所有元素都等于 1，所有其他元素都等于 0。
例子-4
以下都是单位矩阵。
\[I_1= \begin{bmatrix}
1 \\
\end{bmatrix}
\quad , \quad
I_2= \begin{bmatrix}
1 & 0\\
0& 1
\end{bmatrix} \quad , \quad
I_3= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0& 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \]
对角矩阵是一个方阵，除了主对角线上从左上到右下的元素之外，所有元素（条目）都为零。 \[A = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]
上三角矩阵是主对角线以下所有元素都为零的方阵。 下面显示的矩阵 U 是上三角矩阵的示例。
下三角矩阵是主对角线以上所有元素都为零的方阵。 下面所示的矩阵 L 是下三角矩阵的示例。
\(U = \begin{bmatrix}
6 & 2 & -5 \\
0 & -2 & 7 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \qquad
L = \begin{bmatrix}
6 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 \\
10 & 9 & 2
\end{bmatrix} \)
m×n 矩阵 \( A \) 的转置表示为 \( A^T \) ，阶数为 n×m ，定义为
\[ (A^T)_{ij} = (A)_{ji} \]
矩阵\(A^T\)是通过矩阵\(A\)的行和列转置（交换）得到的。
例子-5
\[ \begin{bmatrix}
6 & 0 \\
-2 & -2\\
10 & 9
\end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix}
6 & -2 & 10 \\
0 & -2 &9\\
\end{bmatrix} \]
将矩阵转置偶数次，得到原始矩阵：\( ((A)^T)^T = A \)。 将矩阵转置奇数次，得到转置矩阵： \( (((A)^T)^T)^T = A^T \)。
任何方对角矩阵的转置都是矩阵本身。
\[ \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix} \]
如果方阵的元素满足 \( A_{ij} = A_{ji} \) ，则方阵是对称的，换句话说，如果 \(A = A^T \)，则 \( A \) 是对称的。
例子-6
对称矩阵
\[ \begin{bmatrix}
4 & -2 & 1 \\
-2 & 5 & 7 \\
1 & 7 & 8
\end{bmatrix} \]
给定矩阵：
\[
A = \begin{bmatrix}
-1 & 23 & 10 \\
0 & -2 & -11 \\
\end{bmatrix}
,\quad
B = \begin{bmatrix}
-6 & 2 & 10 \\
3 & -3 & 4 \\
-5 & -11 & 9 \\
1 & -1 & 9
\end{bmatrix}
,\quad
C = \begin{bmatrix}
-3 & 2 & 9 & -5 & 7
\end{bmatrix} \\
D = \begin{bmatrix}
-2 & 6 \\
-5 & 2\\
\end{bmatrix}
,\quad
E = \begin{bmatrix}
3
\end{bmatrix}
,\quad
F = \begin{bmatrix}
3 \\
5 \\
-11 \\
7
\end{bmatrix}
,\quad
G = \begin{bmatrix}
-6 & -4 & 23 \\
-4 & -3 & 4 \\
23 & 4 & 9 \\
\end{bmatrix}
\]
a) 每个矩阵的维数是多少？
b) 哪些矩阵是方阵？
c) 哪些矩阵是对称的？
d) 哪个矩阵第 3 行第 2 列的条目等于 -11？
e) 哪些矩阵的第 1 行和第 3 列的条目等于 10？
f) 哪些是列矩阵？
g) 哪些是行矩阵？
h) 找到 \( A^T , C^T , E^T , G^T \)。
1) 给定矩阵:
\[
A = \begin{bmatrix}
23 & 10 \\
0 & -11 \\
\end{bmatrix}
,\quad
B = \begin{bmatrix}
-6 & 0 & 0 \\
-1 & -3 & 0 \\
-5 & 3 & -9 \\
\end{bmatrix}
,\quad
C = \begin{bmatrix}
-3 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix} \\
,\quad
D = \begin{bmatrix}
-7 & 3 & 2 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 9 \\
\end{bmatrix}
,\quad
E = \begin{bmatrix}
12 & 0 & 0 \\
0 & 23 & 0 \\
0 & 0 & -19\\
\end{bmatrix}
\]
a) 上述矩阵中哪些是对角矩阵？
b) 上述矩阵中哪些是下三角矩阵？
c) 上述哪些矩阵是上三角矩阵？
a) A: 2 × 3, B: 4 × 3, C: 1 × 5, D: 2 × 2, E: 1 × 1, F: 4 × 1, G: 3 × 3,
b) D, E 和 G
c) E 和 G
d) B
e) A 和 B
f) E 和 F
g) E 和 C
h)
\[
A^T = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
23 & -2 \\
10 & -11
\end{bmatrix}
,\quad
C^T = \begin{bmatrix}
-3 \\
2\\
9\\-5\\7
\end{bmatrix}
,\quad
E^T = \begin{bmatrix}
3
\end{bmatrix}
,\quad
G^T = \begin{bmatrix}
-6 & -4 & 23\\
-4 & -3 & 4\\
23 & 4 & 9
\end{bmatrix}
\]