最大化盒子的体积
(Maximize Volume of a Box)

如何使用体积的第一个导数来最大化盒子的体积。体积优化问题及其解决方案。

Problem

将使用一块 12 英寸 x 10 英寸的金属板来制作一个开口盒子。从每个角切出等边 x 的正方形，然后将边折叠以制成盒子。求使体积最大的 x 值。

问题的解决办法

我们首先使用长方形盒子的体积公式。
V = L × W × H
要制作的盒子具有以下尺寸：
L = 12 - 2 x
W = 10 - 2 x
H = x
我们现在将要制作的盒子的体积写如下：
V(x) = x (12 - 2 x) (10 - 2 x) = 4 x (6 - x) (5 - x)
= 4x (x² -11 x + 30)
现在我们确定函数 V(x) 的域。盒子的所有尺寸必须为正或零，因此条件
x ≥ 0 and 6 - x ≥ 0 and 5 - x ≥ 0
求解上述不等式组以找到函数 V(x) 的域
0 ≤ x ≤ 5
现在让我们使用最后一个表达式求 V(x) 的一阶导数。
dV / dx = 4 [ (x² -11 x + 3) + x (2x - 11) ]
= 3 x² -22 x + 30
现在让我们通过求解二次方程找到使 dV / dx = 0 的所有 x 值
3 x² -22 x + 30 = 0
x 的两个值使 dV / dx = 0：
x = 5.52 and x = 1.81, 四舍五入到小数点后一位。
x = 5.52 位于域之外，因此被拒绝。
现在让我们检查 x = 1.81 处的 V(x) 值以及域的端点。
V(0) = 0 、 v(5) = 0 和 V(1.81) = 96.77 （四舍五入到小数点后两位）
所以 V(x) 是 x 的最大值 1.81 英寸。函数 V(x) 的图形如下所示，我们可以清楚地看到最大值非常接近 1.8。