微积分中函数的微分规则

函数微分的基本规则微积分与几个例子一起呈现。

1 - 常量函数的导数。

\(\)\(\)\(\)\(\) \( f(x) = c \) 的导数（其中 c 是常数）由下式给出 \[ f'(x) = 0 \]
示例
给定 \( f(x) = - 10 \) ，因此 \( f '(x) = 0 \)

2 - 幂函数的导数（幂法则）。

\( f(x) = x^r \) 的导数，其中 \( r \) 是常数实数，由下式给出 \[ f '(x) = r \; x^{r-1} \]
示例
给定\( f(x) = x^{-2} \) ，
因此 \( f '(x) = -2 x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3 } \)

3 - 函数乘以常数的导数。

\( f(x) = c \; g(x) \) 的导数，其中 \( c \) 是常数，由下式给出 \[ f '(x) = c \; g '(x) \]
示例
给定 \( f(x) = 3 \; x^3 \) ，
让 \( c = 3 \) 和 \( g(x) = x^3 \)，因此 \( f(x) = c \; g(x) \)
和 \( f '(x) = c \; g '(x) = 3 (3 x^2) = 9 \; x^2 \)

4 - 函数和的导数（求和规则）。

\( f(x) = g(x) + h(x) \) 的导数由下式给出 \[ f '(x) = g '(x) + h '(x) \]
示例
给定 \( f(x) = x^2 + 4 \)
让 \( g(x) = x^2 \) 和 \( h(x) = 4 \)
因此 \( f '(x) = g '(x) + h '(x) = 2 x + 0 = 2 x \)

5 - 函数差异的导数。

\( f(x) = g(x) - h(x) \) 的导数由下式给出
\[ f '(x) = g '(x) - h '(x) \]
示例
给定 \( f(x) = x^3 - x^{-2} \)
让\(g(x)=x^3\)和\(h(x)=x^{-2}\)。
因此
\( f '(x) = g '(x) - h '(x) = 3 x^2 - (-2 x^{-3}) = 3 x^2 + 2 x^{-3} \)

6 - 两个函数乘积的导数（乘积规则）。

\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) 的导数由下式给出
\[ f '(x) = g(x) \cdot h '(x) + h(x) \cdot g '(x) \]
示例
给定 \( f(x) = (x^2 - 2x) (x - 2) \)
设 \( g(x) = (x^2 - 2x) \) 和 \( h(x) = (x - 2) \)。
因此
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)
并使用公式，我们得到
\( f '(x) = g(x) h '(x) + h(x) g '(x) = (x^2 - 2x) (1) + (x - 2) (2x - 2) \ ）
展开并分组
\( f '(x) = x^2 - 2x + 2 x^2 - 6x + 4 = 3 x^2 - 8 x + 4 \)

7 - 两个函数的商的导数（商规则）。

\( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) 的导数由下式给出
\[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)} { (h(x))^2} \]
示例
给定 \( f(x) = \dfrac{x-2}{x+1} \)
让 \( g(x) = x - 2 \), \( \; h(x) = x + 1 \)，因此 \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x) } \), \( g '(x) = 1 \) 和 \( h '(x) = 1 \)。
使用上面给出的公式
\( f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{ (h(x))^2} \)
将 \( h(x), g(x), h'(x) \) 和 \( g'(x) \) 替换为它们的表达式
\( f '(x) = \dfrac { (x + 1)(1) - (x - 2)(1) } {(x + 1)^2} \)
分组并简化
\( f '(x) = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \)