求微积分中函数的导数

使用微积分中的不同方法和规则求各种函数的导数。 给出了几个带有详细解决方案的示例。 更多练习及答案位于本页末尾。

示例 1： 求函数 f 的导数： 示例 1 的解决方案：
函数 f 是两个函数的乘积：U = x ² - 5 和 V = x³ - 2x+3; 因此 我们使用乘积规则来区分f，如下： 其中 U ' 和 V ' 是 U 和 V 分别由 给出 替代获得 展开、分组、简化获取

示例 2： 计算函数 f 的一阶导数：
\[ f(x) = (\sqrt x + 2x)(4x^2-1) \]
示例 2 的解决方案：
这个函数可以被认为是函数 U = √x + 2x 和 V = 4x² - 1 的乘积，因此使用乘积规则
\[ f'(x) = U'V + UV' \\ = (\dfrac{1}{2\sqrt x} + 2)(4x^2-1) + (\sqrt x + 2 x)(8x) \] 要添加上述内容，您需要将所有项写成具有公分母的分数。
\[ f'(x) = \dfrac{(1+2\cdot2\sqrt x)(4x^2-1)+2\sqrt x(8x)(\sqrt x + 2x)}{2\sqrt x} \] 展开
\[ f'(x) = \dfrac{4x^2-1+16x^{5/2}-4\sqrt x+16x^2+32x^{5/2}}{2\sqrt x} \] 并分组得到f的导数的最终结果如下。
\[ f'(x) = \dfrac{48x^{5/2}+20x^2-4x^{1/2}-1}{2\sqrt x} \]

示例 3： 计算函数 f 的一阶导数：

示例 3 的解决方案：
给定函数可以被视为两个函数的比率：U = x² + 1 和 V = 5x - 3 并使用 商规则微分f的使用如下
展开并分组得到f'(x)如下

示例 4： 计算函数 f 的一阶导数：

示例 4 的解决方案：
函数 f 是两个函数的商，因此使用商规则
将所有项写入分子，使它们具有相同的分母 2 sqrt x
展开同类项并分组以获得 f'(x)

示例 5： 计算函数 f 的一阶导数：

示例 5 的解决方案：
上面给出的函数 f 可以被视为函数 U = 1/x - 3 和 V = (x² + 3)/(2x - 1) 的乘积 ，函数 V 可以被视为两个函数 x² + 3 和 2x - 1 的商。我们使用 f 的乘积规则和 V 的商规则如下
将所有项设置为一个公分母
展开并分组以获得导数 f'。

示例 6： 计算函数 f 的一阶导数：

示例 6 的解决方案：
有多种方法可以求出上面给出的函数 f 的导数。 其中之一是将函数 f 视为函数 U = sqrt x 和 V = (2x - 1)(x³ - x) 的乘积，并将 V 视为 (2x - 1 ) 和 (x³ - x) 并将乘积规则应用于 f 和 V，如下
为所有术语设置一个共同点
展开并分组类似项以获得导数 f'。

示例 7： 求函数 f 的导数：

示例 7 的解决方案：
给定函数的形式为 U⁴，其中 U = x³ + 4。 微分链式法则给出f'如下
计算 U ' 并代入上面得到 f ' 如下

示例 8： 求函数 f 的导数：

示例 8 的解决方案：
函数 f 的形式为 U³，其中 U = (x - 1) / (x + 3)。 应用链式法则得到f'如下
用商法则计算U '，并代入得到
展开并分组类似项以获得导数 f ' 的最终形式

示例 9： 求函数 f 的导数：

示例 9 的解决方案：
给定函数的形式为 sqrt U，其中 U = x³ + 2 x + 1。计算 U ' 并使用链式法则获得

示例 10： 求函数 f 的导数：

示例 10 的解决方案：
给定函数的形式为 U^3/2，其中 U = x² + 5。应用链式法则如下
计算U'，代入并化简得到导数f'。

示例 11： 求函数 f 的导数：

示例 11 的解决方案：
函数 f 的形式为 U^1/4，其中 U = (x + 6)/(x + 5)。 使用链式法则计算f'如下
由于U是两个函数的商，因此利用商法则求出U'并代入即可得到
展开类似术语并将其分组
将负指数变为正指数，得到 f ' 的最终形式，如下

练习：

上述练习的解答