差商
微积分中的差商是多少？
我们从定义开始，然后计算不同函数的差商作为示例并进行详细解释。
请注意，其中包含差商计算器，可用于检查结果并进一步生成 实践。
\( \)\( \)\( \)\( \)
差商定义
设 \( f \) 为函数，其图形如下所示。
A和B是\(f\)图上的点。 一条线穿过两点\( A ( x , f(x)) \) 和 \( B (x+h , f(x+h)) \) 称为割线。 割线的斜率\(m\)可计算如下：
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x}
\]
化简分母得到
\[
m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
\]
斜率 \( m \) 称为差商。 它是微积分中非常重要的概念，用于定义函数 \( f \) 的导数，实际上定义了数学中函数的局部变分。
解决方案示例
在下面的示例中，我们计算并简化了不同函数的差商。
示例 1
求函数 \( f \) 定义的差商
\[f(x) = 2x + 5\]
示例 1 的解决方案
- 我们首先需要计算 \( f(x + h) \)。
\(
f(x + h) = 2(x + h) + 5
\)
- 我们现在用表达式替换差商定义中的 \( f(x + h) \) 和 \( f(x) \)
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5)} {h}
\)
- 我们简化了上面的表达式。
\(
= \dfrac{2h}{2} = 2
\)
- 答案是 2，这也是函数 \( f \) 定义的直线的斜率，为什么？
示例 2
求下列函数的差商
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]
示例 2 的解决方案
- 我们首先计算 \( f(x + h) \)。
\(
f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2
\)
- 我们现在将 \( f(x + h) \) 和 \( f(x) \) 替换为差商
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h}
\)
- 我们扩展分子中的表达式并将类似项分组。
\(
= \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h +1
\)
示例 3
求函数 \( f \) 的差商，由下式给出
\[ f(x) = \sin x \]
并将结果写成产品。
示例 3 的解决方案
- 我们首先计算 \( f(x + h) \)。
\(
f(x + h) = \sin (x + h)
\)
- 我们现在将 \( f(x + h) \) 和 \( f(x) \) 替换为差商
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h}
\)
- 我们使用三角公式来转换差值 \( \ 将quad \sin (x + h) - \sin x \quad \) 转化为乘积。
\(
\sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)
\)
- 我们将上面的表达式代入上面差商中的 \( sin (x + h) - sin x \) 即可得到。
\(
\dfrac{f (x + h) - f(x)}{h}
= \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\)
更多参考资料和链接
差商计算器
微分和导数
差商