3D 平面 (1) 和 3D 平面 (2) 具有以下方程 \( \quad a_1 x + b_1 y + c_1 + d_1 = 0\) 和 \( \quad a_2 x + b_2 y + c_2 + d_2 = 0 \） 分别。
垂直于由上面的方程定义的平面 (1) 和 (2) 的向量 \( \vec {n_1} \) 和 \( \vec {n_2} \) 由它们的分量给出：
\( \vec {n_1} \; = \; \lt a_1 , b_1 , c_1 \gt \)
\( \vec {n_2} \; = \; \lt a_2 , b_2 , c_2 \gt \)
两个平面之间的角度 \( \alpha \) 等于 角度 向量 \( \vec {n_1} \) 和 \( \vec {n_2} \) 之间的余弦由下式给出
\[ \large \color{red} {\cos \alpha = \dfrac{ \vec {n_1} \cdot \vec {n_2} }{| \vec {n_1} | \cdot | \vec {n_2} | } = \dfrac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 }{| \vec {n_1} | \cdot | \vec {n_2} | } } \] 量值 \( | \vec {n_1} | \) 和 \( | \vec {n_2} | \) 由下式给出
\( | \vec {n_1} | = \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 } \)
\( | \vec {n_2} | = \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 } \)
使用反余弦函数将两个向量形成的角度 \(\alpha \) 表示为 \[ \large \color{red} {\alpha = \arccos \left (\dfrac{ a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 }{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 } \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right) } \]