Preguntas sobre Álgebra con Respuestas y Soluciones - Grado 12

Grado 12 álgebra se presentan preguntas con respuestas y soluciones .

1. Ordena de mayor a menor
   A) 25¹⁰⁰
   B) 2³⁰⁰
   C) 3⁴⁰⁰
   D) 4²⁰⁰
   E) 2⁶⁰⁰
   

2. Encuentre todos los ceros racionales de P (x) = x ³ - 7 x + 6.
   
   

3. Redondee todos los ceros reales en el gráfico al entero más cercano y encuentre una función polinómica P de grado más bajo, con el valor absoluto del coeficiente principal igual a 1, que tiene el gráfico indicado.
   .
   

4. i es la unidad imaginaria e 2 - i es un cero de P (x) = x ⁴ - 4x ³ + 3x ² + 8x - 10. Encuentra todos los ceros de P.
   

5. Encuentre a, b e c de modo que la gráfica de la función cuadrática f (x) = ax ² + b x + c tenga un vértice en (-2, 1) y pase por el punto (0, -3).
   

6. f (x) es una función cuadrática tal que f (1) = 3 e f (5) = 3. Halla la coordenada x del vértice de la gráfica de f.
   

7. Encuentre a e b para que la función racional f (x) = (a x ⁴ + b x ³ + 3) / (x ³ - 2 ) tiene una asíntota oblicua dada por y = 2x - 3
   

8. Resuelva para x la ecuación log ₉ (x ³ ) = log ₂ (8)
   

9. Encuentre el valor de log _y (x ⁴ ) si log _x (y ³ ) = 2
   

10. Resuelva para x la ecuación log _x (8 e ³ ) = 3
    

11. Si 16 ^x + 16 ^{x - 1} = 10, encuentre 2 ^2x .
    

12. Si a ² - b ² = 8 e a · b = 2, encuentre un ⁴ + b ⁴ .
    

13. ¿Cuál es el valor máximo y los valores mínimos de f (x) = | 2 sin (2x - pi / 3) - 5 | + 3
    

14. Si x < -7, simplificar | 4 - |3 + x ||
    

15. Un automóvil viaja de A a B a una velocidad promedio de 50 km / hora. ¿A qué velocidad promedio tendría que viajar de B a A a un promedio de 60 km / hora durante todo el viaje?
    

16. Si x ² - y ² = -12 e x + y = 6, encuentre x e y.
    

17. f (x) es una función tal que f (x) + 3 f (8 - x) = x para todos los números reales x. Encuentra el valor de f (2).
    

18. f (x) es una función tal que f (2x + 1) = 2 f (x) + 1 para todos los números reales x e f (0) = 2. Halla el valor de f (3).
    

19. Encuentra b de modo que la línea y = 2x + b es tangente al círculo x ² + y ² = 4.
    

20. ¿Cuál es el resto de la división (x ¹⁰⁰ - x ⁹⁹ - x + 1) / (x ² - 3 x + 2)?
    

21. Evalúa el número representado por las series infinitas √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...))).
    

22. Demuestre que el sistema de ecuaciones de 3 por 3 que se proporciona a continuación no tiene soluciones.
    2x + y - 3z = 5
    -5x + 3y + 2z = 7
    3x - 4y + z = 8
    

Soluciones a los problemas anteriores

1. 1. 25¹⁰⁰
      
   2. 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰
      
   3. 3⁴⁰⁰ = (3⁴)¹⁰⁰ = 81¹⁰⁰
      
   4. 4²⁰⁰ = (4²)¹⁰⁰ = 16¹⁰⁰
      
   5. 2⁶⁰⁰ = (2⁶)¹⁰⁰ = 64¹⁰⁰
   6. de mayor a menor: 2⁶⁰⁰ , 3⁴⁰⁰ , 25¹⁰⁰ , 4²⁰⁰ , 2³⁰⁰
   
   
2. • P (x) = x ³ - 7 x + 6: dado
     coeficiente principal 1 y sus factores son: + 1, -1
   • el término constante es 6 y sus factores son: + 1, -1, + 2, -2, + 3, -3, + 6, -6
   • posibles ceros racionales: + 1, -1, + 2, -2, + 3, -3, + 6, -6
   • prueba: P (1) = 0, P (2) = 0 y P (-3) = 0
   • x = 1, x = 2 y x = -3 son los ceros de P (x).
   
   
3. • x = -3 es un cero de multiplicidad 2, x = 0 es un cero de multiplicidad 1 y x = 2 es un cero de multiplicidad 2.
   • P (x) = -x (x + 3) ² (x - 2) ² : polinomio con ceros reales, por lo tanto, con el grado más bajo.
   
   
4. • si 2 - i es cero y los coeficientes del polinomio son reales, entonces 2 + i (el conjugado) también es una solución.
   • P (x) = (x - (2 - i)) (x - (2 + i)) q (x) = ((x - 2) ² + 1) q (x)
   • q (x) = P (x) / ((x - 2) ² + 1) = (x ² - 2)
   • x = 2 - i, x = 2 + i, x = √2 e x = - √2 son los 4 ceros de P (x).
   
   
5. • f (x) = a (x + 2) ² + 1: ecuación de la parábola en forma de vértice
   • f (0) = - 3 = 4 a + 1
   • a = - 1: resuelve lo anterior por un
   • f (x) = - (x + 2) ² + 1 = -x ² - 4x - 3
   • a = -1, b = -4 e c = -3: identifica coeficientes
   
   
6. • f (x) = ax ² + b x + c
   • f (1) = 3 que dan 3 = a + b + c
   • f (5) = 3 que da 3 = 25a + 5b + c
   • 24 a + 4 b = 0: resta la ecuación B de la ecuación C
   • x coordenada de vértice = -b / 2a = 3: de la ecuación anterior
   
   
7. • La asíntota oblicua es el cociente resultante de la división larga de a x ⁴ + b x ³ + 3 por x ³ - 2
   • El cociente obtenido es a x + b
   • a x + b = 2 x - 3
   • a = 2 e b = -3: para que dos polinomios sean iguales, los coeficientes correspondientes deben ser iguales.
   
   
8. • log₉(x³) = log₂(8) : dado
   • log₂(2³) = 3 : simplifica el lado derecho de la ecuación dada..
   • log₉(x³) = 3 : reescribe la ecuación anterior
   • log₉(x³) = log₉(9³) : rewite 3 como un registro base 9.
   • x³ = 9³ : obtenga la ecuación algebraica de la ecuación D.
   • x = 9 : resuelve arriba para x.
   
   
9. • log_x(y³) = 2 : dado
   • x² = y³ : reescritura en forma exponencial
   • x⁴ = y⁶ : cuadrado ambos lados
   • x⁴ = y⁶ : reescribe lo anterior utilizando la base de registro y
   • log_y(x⁴) = log_y(y⁶) = 6
   
   
10. • log_x(8e³) = 3 : dado
    • x³ = 8 e³ = (2e)³
    • x = 2 e
    
    
11. • 16^x + 16^{x - 1} = 10 : dado
    • 4^2x + 4^2x / 16 = 10
    • 4^2x = 160/17 : resolver for 4^2x
    • 4^x = 4 √(10) / √(17) : extraer la raíz cuadrada
    • 2^2x = 4^x = 4 √(10) / √(17)
    
    
12. • a² - b² = 8 : dado
    • a⁴ + b⁴ - 2a²b² = 8² : Cuadrar ambos lados y expandir.
    • a·b = 2 : dado
    • a²b² = 2² : cuadrado ambos lados.
    • a⁴ + b⁴ - 2(4) = 8² : sustituir
    • a⁴ + b⁴ = 72
    
    
13. • -1 <= sin(2x - pi/3) <= 1 : rango de una función sinusoidal
    • -2 <= 2sin(2x - pi/3) <= 2 : multiplica todos los términos de la doble desigualdad por 2
    • -2 - 5 <= 2sin(2x - pi/3) - 5 <= 2 - 5 : agregue -5 a todos los términos de la desigualdad.
    • -7 <= 2sin(2x - pi/3) - 5 <= -3
    • 3 <= |2sin(2x - pi/3) - 5| <= 7 : cambie lo anterior utilizando el valor absoluto.
    • 3 + 3 <= |2sin(2x - pi/3) - 5| + 3 <= 7 + 3 : agregue 3 a todos los términos de la doble desigualdad.
    • El valor máximo de f (x) es igual a 10 y el valor mínimo de f (x) es igual a 6.
    
    
14. • Si x < -7 luego x < -3 e x + 3 < 0 e |3 + x | = - (3 + x)
    • |4 - |3 + x|| = |4 + 3 + x| = |x + 7| = - x - 7 : ya que x + 7 < = 0
    
    
15. • Sea d la distancia entre A y B
    • T1 = d / 50: tiempo de viaje de A a B
    • Deje que S sea la velocidad de B a A
    • T2 = d / S: tiempo de viaje de B a A
    • 60 = 2d / (T1 + T2): velocidad promedio para todo el viaje
    • 60 = 2d / (d / 50 + d / S): sustituir T1 y T2
    • S = 75 km / hora: resuelve la ecuación anterior para S.
    
    
16. • x² - y² = (x - y)(x + y) = -12 : dado
    • 6(x - y) = -12 : sustituye x + y por 6
    • (x - y) = -2 : resolver para x - y
    • (x - y) = -2 e x + y = 6 : 2 por 2 sistema.
    • x = 2 , y = 4 : resolver el sistema anterior.
    
    
17. • f(x) + 3 f (8 - x) = x: dado
    • f(2) + 3f (6) = 2: x = 2 arriba
    • f(6) + 3f (2) = 6: x = 6 arriba
    • f(6) = 6 - 3f (2): resuelve la ecuación C para f (6)
    • f(2) + 3 (6 - 3f (2)) = 2: sustituto
    • f(2) = 2: resolver la ecuación anterior.
    
    
18. • f(2x + 1) = 2f(x) + 1: dado
    • f(3) = 2f(1) + 1: x = 1 en A
    • f(1) = 2f(0) + 1: x = 0 en A
    • f(3) = 11: sustituto
    
    
19. • x ² + y ² = 4: dado
    • x ² + (2x + b) ² = 4: sustituye y por 2x + b
    • 5x ² + 4bx + b ² - 4 = 0
    • El número de puntos de intersección está dado por el número de soluciones de la ecuación anterior. La línea y el círculo son tangentes si la ecuación cuadrática anterior tiene una sola solución, lo que significa que el discriminante es igual a cero. Encuentra el discriminante como una función de b y resuelve.
    • b = √(2) y b = - √(2): 2 soluciones.

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