Prueba de la Derivada de csc x
La prueba del cálculo de la derivada de \( \csc (x)\)
se presenta utilizando la regla del cociente de derivadas.
Prueba de la Derivada de csc x
Una identidad trigonométrica relacionando \( \csc x \) y \( \sin x \) es dada por
\[ \csc x = \dfrac { 1 }{ \sin x } \]
Usamos la regla del cociente para la diferenciación para encontrar la derivada de \( \csc x \); por lo tanto
\( \displaystyle { \dfrac {d}{dx} \csc x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{ 1 }{\sin x}) = \dfrac { (\dfrac {d}{dx}1) { \sin x } - 1 (\dfrac {d}{dx} \sin x) } {\sin^2 x} } \)
La derivada de 1 es igual a cero. Usamos las fórmulas para la derivada de las funciones trigonométricas \( \sin x \) dada por \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) y sustituimos para obtener
\( \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \csc x = \dfrac{ (0 - (\cos x) )}{\sin^2 x}} \)
Simplificamos
\( \displaystyle {= \dfrac{ - \cos x } {\sin^2 x} = - \dfrac{ \cos x }{\sin x} \dfrac{ 1 }{\sin x} = - \cot x \csc x}\)
conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \csc x = - \cot x \; \csc x} \]
Gráfico de csc x y su Derivada
Se muestran los gráficos de \( \csc(x) \) y su derivada a continuación.
Derivada de la Función Compuesta csc (u(x))
Consideremos ahora la función compuesta csc de otra función u(x). Use la regla de la cadena de diferenciación para escribir
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \csc (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \csc u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)
Simplificamos
\( = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u \)
Conclusion
\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \csc (u(x)) = - \cot u \; \csc u \; \dfrac{d}{dx} u \]
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones compuestas de csc
- \( f(x) = \csc (-x^3+3) \)
- \( g(x) = \csc (\cos(x)) \)
- \( h(x) = \csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \)
Solución al Ejemplo 1
-
Sea \( u(x) = -x^3+3 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (-x^3+3) = -3x^2 \) y aplicamos la regla para la función compuesta csc dada anteriormente
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{
dx} u = - \cot (-x^3+3) \csc (-x^3+3) \times (-3x^2) \)
\( = 3x^2 \; \cot (-x^3+3) \; \csc (-x^3+3) \)
-
Sea \( u(x) = \cos x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \cos x = - \sin x \) y aplicamos la regla de diferenciación anterior para la función compuesta csc
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u = - \cot (\cos x) \csc (\cos x) \times (- \sin x) \)
\( = \sin x \;\cot (\cos x) \; \csc (\cos x) \)
-
Sea \( u(x) = \dfrac{1}{x^2+1} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2} \) y aplicamos la regla de diferenciación para la función compuesta csc obtenida anteriormente
\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = - \cot u \csc u \dfrac{d}{dx} u = - \cot (\dfrac{1}{x^2+1}) \csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \times (-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}) \)
\( = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2} \; \cot (\dfrac{1}{x^2+1}) \;\csc (\dfrac{1}{x^2+1}) \)
Más Referencias y enlaces
Reglas de Diferenciación de Funciones en Cálculo.
Identidades y Fórmulas Trigonométricas.
Derivadas de las Funciones Trigonométricas.
Regla de la Cadena de Diferenciación en Cálculo.