Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas
Se presentan las pruebas de las fórmulas de las derivadas
de las funciones trigonométricas inversas junto con varios otros ejemplos que involucran sumas, productos y cocientes de funciones. También se incluye otro método para encontrar la derivada de las funciones inversas y puede ser utilizado.
1 - Derivada de \( y = \arcsin(x) \)
Sea
\[ y = \arcsin(x) \]
lo cual puede escribirse como
\[ x = \sin(y) \]
Diferenciemos ambos lados de la ecuación anterior con respecto a \( x \)
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d (\sin(y))} {dx} \]
Simplificamos el lado izquierdo y usamos la regla de la cadena en el lado derecho
\[ 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \]
Lo anterior nos da
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]
La identidad trigonométrica \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1\) nos da
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} \]
De lo anterior, tenemos \( x = \sin(y) \) , entonces
\[ \cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \]
Sustituimos \( \cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \) en \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \) para obtener
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]
Por lo tanto
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}
\]
2 - Derivada de \( \arccos(x) \)
Sea
\[
y = \arccos(x)
\]
lo cual puede escribirse como
\[ x = \cos(y)\]
Diferenciemos ambos lados de la ecuación anterior, con respecto a \( x \) usando la regla de la cadena en el lado derecho, obtenemos
\[
1 = - \sin(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Lo anterior nos da
\[
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sin(y) }
\]
La identidad trigonométrica \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1\) nos da
\[ \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2 (y)} \]
Usamos \( x = \cos(y)\) de arriba para escribir
\[
\sin(y) = \sqrt{1 - x^2}
\]
Sustituimos \( \sin y \) en \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sin(y) } \) para obtener
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}
\]
3 - Derivada de \( \arctan(x) \)
Sea
\[
y = \arctan(x)
\]
lo cual puede escribirse como
\[
x = \tan(y)
\]
Diferenciemos ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado derecho, obtenemos
\[
1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Lo anterior nos da
\[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y) } = \cos^2(y)
\]
Ahora usamos la identidad trignométrica
\[
\cos^2(y) = \dfrac{1}{1+\tan^2(y)}
\]
y \( x = \tan(y) \) de arriba para expresar \( \sec^2(y) \) en términos de x de la siguiente manera
\[
\cos^2(y) = \dfrac{1}{1+x^2}
\]
Sustituimos en \( \dfrac{dy}{dx} = \cos^2(y) \) para obtener
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d
(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1+x^2 }}
\]
4 - Derivada de \( \text{arccot}(x) \)
Sea
\[
y = \text{arccot}(x)
\]
lo cual puede escribirse como
\[
x = \cot(y)
\]
Diferenciemos ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado derecho, obtenemos
\[
1 = - \csc^2(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Lo anterior nos da
\[
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\csc^2(y) } = - \sin^2(y)
\]
Usamos la identidad trigonométrica
\[
\sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)}
\]
y \( x = \cot(y) \) de arriba para expresar \( \sin^2(y) \) en términos de x de la siguiente manera
\[
\sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2}
\]
Por lo tanto
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = - \dfrac{1}{1+x^2 }}
\]
5 - Derivada de \( \text{arcsec}(x) \)
Sea
\[
y = \text{arcsec}(x)
\]
lo cual puede escribirse como
\[
x = \sec(y)
\]
La diferenciación de ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado derecho, da
\[
1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Lo anterior nos da
\[
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y) }
\]
Usamos la identidad \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} \) y \( x = \sec(y) \) de arriba para
expresar \( \sec(y) \tan(y) \) en términos de x de la siguiente manera
\[
\sec(y) \tan(y) = x \sqrt{x^2 - 1}
\]
Por lo tanto
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1} }}
\]
6 - Derivada de \( \text{arccsc}(x) \)
Sea
\[
y = \text{arccsc}(x)
\]
lo cual puede escribirse como
\[
x = \csc(y)
\]
La diferenciación de ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado derecho, da
\[
1 = - \csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx}
\]
Lo anterior nos da
\[
\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{ \csc(y) \cot(y) }
\]
Usamos la identidad trigonométrica \( \cot y = \sqrt {csc^2 y - 1} \) y \( x = \csc(y) \) de arriba
para expresar \( \csc(y) \cot(y) \) en términos de x de la siguiente manera
\[
\csc(y) \cot(y) = \csc(y) \sqrt {\csc^2 y - 1} = x \sqrt{x^2 - 1}
\]
Por lo tanto
\[
\Large \color{red}{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = - \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1} }}
\]
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la primera derivada de \[ f(x) = x \arcsin x \]
Solución al Ejemplo 1:
Sea \( h(x) = x \) y \( g(x) = \arcsin x \), la función \( f \) se considera como el producto de las funciones \( h \) y \( g \): \( f(x) = h(x) g(x) \).
Usamos la regla del producto de derivadas: \( f '(x) = h(x) g '(x) + g(x) h '(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera
\( f '(x) = x \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + \arcsin x \cdot 1 \)
\( = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \)
Ejemplo 2
Encuentra la primera derivada de \[ f(x) = \arctan x + x^2 \]
Solución al Ejemplo 2:
Sea \( g(x) = \arctan x \) y \( h(x) = x^2 \), la función \( f \) se puede considerar como la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Por lo tanto, usamos la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera
\( f '(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \)
\( = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \)
Ejemplo 3
Encuentra la primera derivada de \[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]
Sea \( u(x) =
2x + 2 \), la función \( f \) se puede considerar como la composición \( f(x) = \arcsin(u(x)) \). Por lo tanto, usamos la regla de la cadena, \( f '(x) = \left( \dfrac{du}{dx} \right) \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera
\( g '(x) = 2 \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \right) \)
\( = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \)
Más Referencias y Enlaces
Derivada de la Función Inversa
diferenciación y derivadas