Encontrar la Ecuación de un Círculo a partir de su Gráfica

Solución al Ejemplo 1

La gráfica dada es simétrica con respecto al eje x, por lo tanto, el centro del círculo es el punto medio de las dos intersecciones con el eje x en los puntos \( (-1,0) \) y \( (3,0) \). En otras palabras, las dos intersecciones con el eje x forman un diámetro del círculo.

Centro: El centro del círculo está en su punto medio:

\[ \left( \dfrac{-1+3}{2}, \dfrac{0+0}{2} \right) = (1,0) \]

Radio: El radio \( r \) del círculo es la mitad del diámetro:

\[ r = \dfrac{1}{2} \sqrt{(-1-3)^2 + (0 - 0)^2} = \dfrac{1}{2} \sqrt{16} = 2 \]

Ecuación: La ecuación del círculo es:

\[ \boxed{(x - 1)^2 + y^2 = 2^2} \]

Solución al Ejemplo 2

Primero dibujamos dos ejes perpendiculares de simetría (líneas discontinuas) del círculo para ubicar el centro.

A partir de la gráfica con ejes de simetría, podemos aproximar que el centro está en \( (1,-2) \).

Los puntos de intersección del círculo con cualquiera de los dos ejes dan un diámetro de aproximadamente 6 unidades, por lo que el radio es la mitad de eso:

\[ r = \dfrac{6}{2} = 3 \]

Ecuación: La ecuación del círculo es:

\[ \boxed{(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3^2} \]

Solución al Ejemplo 3

Sea \( (h, k) \) el centro del círculo. Los tres puntos \( (-1,3) \), \( (0,2) \) y \( (1,2) \) están en el círculo, por lo que la distancia desde cada punto al centro es igual al radio.

Las distancias al cuadrado desde el centro a cada punto son:

• Hasta \( (-1,3) \): \( (h + 1)^2 + (k - 3)^2 \)
• Hasta \( (0,2) \): \( h^2 + (k - 2)^2 \)
• Hasta \( (1,2) \): \( (h - 1)^2 + (k - 2)^2 \)

Dado que todas las distancias son iguales, planteamos ecuaciones:

\[ \begin{cases} (h + 1)^2 + (k - 3)^2 = h^2 + (k - 2)^2 \\[5pt] h^2 + (k - 2)^2 = (h - 1)^2 + (k - 2)^2 \end{cases} \]

Simplificamos la segunda ecuación:

\[ h^2 = (h - 1)^2 \] \[ h^2 = h^2 - 2h + 1 \] \[ 0 = -2h + 1 \quad \Rightarrow \quad h = \dfrac{1}{2} \]

Sustituimos \( h = \frac{1}{2} \) en la primera ecuación:

\[ \left(\dfrac{1}{2} + 1\right)^2 + (k - 3)^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + (k - 2)^2 \] \[ \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + (k - 3)^2 = \dfrac{1}{4} + (k - 2)^2 \] \[ \dfrac{9}{4} + k^2 - 6k + 9 = \dfrac{1}{4} + k^2 - 4k + 4 \] \[ k^2 - 6k + \dfrac{45}{4} = k^2 - 4k + \dfrac{17}{4} \] \[ -6k + \dfrac{45}{4} = -4k + \dfrac{17}{4} \] \[ -2k = -\dfrac{28}{4} \quad \Rightarrow \quad k = \dfrac{7}{2} \]

Centro: \( (h,k) = \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{2}\right) \)

Radio: Usando el punto \( (0,2) \):

\[ r = \sqrt{ \left(\dfrac{1}{2} - 0\right)^2 + \left(\dfrac{7}{2} - 2\right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} } = \sqrt{ \dfrac{10}{4} } = \sqrt{ \dfrac{5}{2} } \]

Ecuación:

\[ \boxed{ \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{5}{2} } \]

La calculadora de círculo por tres puntos puede usarse para verificar respuestas y generar más problemas.