삼각함수 공식 질문의 합, 차이 및 곱

sin(x), cos(x) 및 tan(x) 함수와 관련된 합, 차이 및 곱 공식은 예제와 자세한 솔루션이 포함된 질문을 통해 삼각법 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

삼각법의 합 공식

1. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
   
2. cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y
   
3. tan(x + y) = [tan x + tan y] / [1 - tan x tan y]

예 1
sin x = 1 / 5 및 sin y = -2 / 3이고 각도 x는 사분면 II에 있고 각도 y는 사분면 III에 있으며 sin(x + y)의 정확한 값을 찾습니다.
예제 1의 해결 방법
사인의 합 공식(위 공식 1)을 사용하여 sin(x + y)를 확장합니다.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
우리는 sin x를 알고 있지만 cos x는 모릅니다 sin²x + cos²x = 1 이라는 항등식을 사용하여 cos x를 찾습니다.
cos x = ± √(1 - sin²x)
x가 II사분면에 있으므로 cos x는 음수입니다.
cos x = - √(1 - (1/5)²) = - (1/5) √24
우리는 sin y를 알고 있지만 cos y는 모릅니다. 위의 sin²y + cos²y = 1과 동일한 항등식을 사용하여 cos y를 찾습니다.
cos y = ± √(1 - sin²y)
y는 3사분면에 있으므로 cos y는 음수입니다.
cos y = - √(1 - (-2/3)²)
= - √(1 - 4/9)
= (-1/3)√(5)
이제 sin x, cos x, sin y 및 cos y를 위 공식의 값으로 대체합니다.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
= (1/5) [-(1 / 3)√(5)] + [-(1 / 5)√(24)][-2 / 3]
= [-√(5) + √(24)] / 15

삼각법의 차이 공식

1. sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y
   
2. cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y
   
3. tan(x - y) = [tan x - tan y] / [1 + tan x tan y]

실시예 2
단순화하다 cos(x - π/2)
예제 2에 대한 해결책
코사인에 대한 차이 공식(위 공식 2)을 사용하여 주어진 표현식을 확장합니다.
cos(x - π/2) = cos x cos π/2 + sin x sin π/2
cos π/2 = 0 and sin π/2 = 1, 따라서.
cos(x - π/2) = sin x

실시예 3
sin(15°)의 정확한 값을 구하세요.
예제 3에 대한 해결책
15° 특별한 각도는 아닙니다. 그러나 15° = 45° - 30° 그리고 둘 다 45° 및 30° 특별한 각도입니다. 따라서
sin(15°) = sin (45° - 30°)
이제 사인에 대한 차이 공식을 사용합니다.
= sin(45°) cos(30°) - cos(45°) sin(30°)
45°의 사인과 코사인 값을 대체합니다. 및 30° 위의 항목에서 구합니다.
sin(15°) = [√(2) / 2][√(3) / 2] - [√(2) / 2][1 / 2]
공통분모와 인수분해.
sin(15°) = √(2)[√(3) - 1] / 4

삼각법의 공식 합계에 대한 곱

1. sin x cos y = (1/2) [ sin(x + y) + sin(x - y) ]
   
2. cos x sin y = (1/2) [ sin(x + y) - sin(x - y) ]
   
3. cos x cos y = (1/2) [ cos(x + y) + cos(x - y) ]
   
4. sin x sin y = (1/2) [ cos(x - y) - cos(x + y) ]

실시예 4
단순화하다 2 cos(3 x)cos(2 x) - cos(x)
예제 4에 대한 해결책
곱셈 공식(위의 공식 3)을 사용하여 cos(3 x) cos(2 x)를 주어진 표현식의 합으로 씁니다.
2 cos(3 x) cos(2 x) - cos(x) = 2 ( (1/2) cos(3 x + 2 x) + cos (3 x - 2 x)) - cos(x)
단순화하다
cos(5 x) + cos (x) - cos(x) = cos(5 x)

삼각법의 곱 공식에 대한 합

1. sin x + sin y = 2 sin[ (x + y) / 2 ] cos[ (x - y) / 2 ]
   
2. sin x - sin y = 2 cos[ (x + y) / 2 ] sin[ (x - y) / 2 ]
   
3. cos x + cos y = 2 cos[ (x + y) / 2 ] cos[ (x - y) / 2 ]
   
4. cos x - cos y = 2 sin[ (x + y) / 2 ] sin[ (x - y) / 2 ]

실시예 5
표현식을 인수분해하세요 sin(4x) - sin(2x)
실시예 5에 대한 해결책
생성물 공식(위의 공식 2)과의 차이를 이용하여 주어진 표현식을 생성물로 작성합니다.
sin(4x) - sin(2x) = 2 cos ( (4x + 2x) / 2) sin((4x - 2x) / 2)
단순화하다
sin(4x) - sin(2x) = 2 cos (3 x) sin(x)

질문

추가 참조 및 링크