Serie di Taylor e Maclaurin con esempi
(Taylor and Maclaurin Series with Examples)

Viene presentato l'uso delle serie di Taylor e Maclaurin per espandere e approssimare funzioni come serie di potenze a determinati valori di \( x \). Queste serie forniscono utili polinomio approssimazioni delle funzioni generatrici più facili da programmare sulle calcolatrici. Sono inclusi esempi e domande e le relative soluzioni.

Definizione delle serie di Taylor e Maclaurin (Definition of Taylor and Maclaurin Series)

Per una funzione \( f \) con derivate di tutti gli ordini definite in un intervallo contenente \( a \), la serie di Taylor della funzione \( f \) in \( x = a \) è data da [1] \[ \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + ... \] dove \( f'(a), f''(a), ... , f^{(n)}(a) ... \) sono le derivate di \( f \) valutate in \( x = a\) La serie di Maclaurin della funzione \( f \) è la serie di Taylor in \( x = 0 \) ed è data da \[ \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \]
Le serie di Taylor e Maclaurin sono infinite ma possono essere troncate a \( n \) termini in modo che la serie di Taylor sia un polinomio di Taylor dato da \[ P_n(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]
È incluso un calcolatore online delle serie di Taylor che può essere utilizzato per verificare molti degli esempi ed esercizi presentati di seguito e possono essere utilizzati anche per generare e verificare molti altri problemi.

Esempi di espansione delle serie di Taylor e Maclaurin (Examples of Taylor and Maclaurin Series Expansion)

Esempio 1
a) Trovare il polinomio di Taylor \( P_4(x) \) (di ordine 4) generato da \( f(x) = \sin(x) \) in \( x = \pi/2 \).
b) Utilizzare una calcolatrice grafica per rappresentare graficamente \( \sin(x) \) e \( P_4(x) \) in un intervallo contenente \( \pi/2 \) e confrontare i due grafici.
Soluzione
a)
La serie di Taylor di ordine 4 di \( f \) è data da
\( P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(\pi/2)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \)
Calcola le prime 4 derivate di \( f \)
\( f(x) = \sin(x) \) ,   \( f'(x) = \cos(x) \) ,   \( f''(x) = -\sin(x) \) ,
\( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \)   \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \)
Valutare \( f \) e le sue prime 4 derivate di \( f \) in \( x = \pi/2 \)
\( f(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \)  ,  \( f'(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0 \) ,
\( f''(\pi/2) = - \sin(\pi/2) = -1 \) , \( f^{(3)}(\pi/2) = -\cos(\pi/2) = 0 \)   ,  
\( f^{(4)}(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \) ,

Sostituisci in \( P_4(x) \) indicato sopra
\( P_4(x) = f(a) + f'(a) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \\ \quad = 1 - \dfrac{1}{2} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{1}{24} (x- \pi/2)^4\)
b)
Confrontando i grafici di \( \sin(x) \) e della sua serie di ordine di Taylor \( 4 \), i due grafici sono molto vicini e quindi \( P_4(x) \) può essere utilizzato per approssimare \( \sin (x) \) all'interno di un intervallo contenente \( \pi/2 \).

Esempio 2
a) Trovare il polinomio di Taylor \( P_5(x) \) (di ordine 5) generato da \( f(x) = \ln(x) \) in \( x = 1 \).
b) Utilizzare una calcolatrice grafica per rappresentare graficamente \( \ln(x) \) e \( P_5(x) \) in un intervallo contenente \( 1 \) e confrontare i due grafici.
c) Valutare \( P_5(x)\) e \( \ln(x) \) nella tabella seguente e confrontare i valori corrispondenti.

Esempio 3
a) Trovare la serie di Maclaurin generata da \( f(x) = e^x \).
b) Utilizzare una calcolatrice grafica per rappresentare graficamente la serie di Maclaurin in un intervallo contenente \( 0 \) con 2, 3, 4, 5 e 6 termini.

Soluzione
a)
La serie Maclaurin di \( f \) è data da
\( \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
Calcola le derivate di \( f(x) = e^x\)
\( f(x) = e^x \) ,   \( f'(x) = e^x \) ,   \( f''(x) = e^x \) ,
\( f^{(n)}(x) = e^x \) for all \( n \ge 3\)
Valuta la funzione e le sue derivate in \( x = 0 \)
\( f(0) = 1 \) ,   \( f'(0) = 1 \) ,   \( f''(0) = 1 \) ,
\( f^{(n)}(0) = 1 \) for all \( n \ge 3\)
Sostituisci nella serie sopra per ottenere la serie di Maclaurin di \( f(x) = e^x \)
\( 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + ... + \dfrac{1}{n!} x^n + ... \)
b)
Le serie di Maclaurin con 2, 3, 4, 5 e 6 termini sono date da
\( P_1(x) = 1 + x \)
\( P_2(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 \)
\( P_3(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 \)
\( P_4(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4\)
\( P_5(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4 + \dfrac{1}{120} x^5 \)
I cinque polinomi sopra indicati sono rappresentati graficamente di seguito insieme alla funzione data \( f(x) = e^x \). Notiamo che le approssimazioni attorno a \( x = 0 \) migliorano all'aumentare del numero di termini nella serie.

Domande

Parte A
Trova il polinomio di Taylor dell'ordine \( 4 \) generato da \( f \) al valore dato di \( x \)
a) \( f(x) = e^{-x} \) , at \( x = 2 \)
b) \( f(x) = \sin(x/2) \) , at \( x = \pi \)

Parte B
Trova la serie Maclaurin per le funzioni
a) \( f(x) = \cos(x+\pi/2) \)
b) \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
c) \( f(x) = e^{-x^2} \)
d) \( f(x) = \sin(x) \)
e) \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

Parte C
Trovare il polinomio di Taylor di ordine \( 5 \) generato da \( f(x) = \sin(x) e^x \) in \( x = 0 \) e il grafico \( f \) e il polinomio di Taylor in lo stesso sistema di coordinate.
a)

Soluzioni alle domande di cui sopra

Parte A
a)
\( P_4(x) = f(2) + f'(2) (x-2) + \dfrac{f''(2)}{2!} (x-2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(2))}{3!} (x- 2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(2))}{4!} (x- 2)^4 \)

\( f(x) = e^{-x} \) , \( f'(x) = - e^{-x} \) , \( f''(x) = e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = - e^{-x} \) , \( f^{(4)}(x) = e^{-x} \)

\( P_4(x) = \quad \dfrac{1}{e^2}-\dfrac{1}{e^2}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{2e^2}\left(x-2\right)^2-\dfrac{1}{6e^2}\left(x-2\right)^3+\dfrac{1}{24e^2}\left(x-2\right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{24e^2}-\dfrac{x^3}{2e^2}+\dfrac{5x^2}{2e^2}-\dfrac{19x}{3e^2} + \dfrac{7}{e^2} \)

b)

\( P_4(x) = f(\pi ) + f'(\pi ) (x-\pi ) + \dfrac{f''(\pi )}{2!} (x-\pi )^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi ))}{3!} (x- \pi )^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi ))}{4!} (x- \pi )^4 \)

\( f(x) = \sin(x/2) \) , \( f'(x) = \dfrac{1}{2} \cos(x/2) \) , \( f''(x) = - \dfrac{1}{4} \sin(x/2) \) , \( f^{(3)}(x) = - \dfrac{1}{8} \cos(x/2) \) , \( f^{(4)}(x) = \dfrac{1}{16} \cos(x/2) \)

\( P_4(x) = 1-\dfrac{1}{8}\left(x-\pi \right)^2+\dfrac{1}{384}\left(x-\pi \right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{384}-\dfrac{\pi x^3}{96}-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{\pi ^2x^2}{64}+\dfrac{\pi x}{4}-\dfrac{\pi ^3x}{96}-\dfrac{48 \pi ^2+\pi ^4+384}{384} \)

Parte B
Le serie di Maclaurin sono date da: \( \quad f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
a)
\( f(x) = \cos(x+\pi/2) \) , \( f'(x) = - \sin(x+\pi/2) \) , \( f''(x) = - \cos(x+\pi/2) \) , \( f^{(3)}(x) = \sin(x+\pi/2) \) ...
Serie Maclaurin
\( -x+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{120}x^5+\dfrac{1}{5040}x^7-\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

b)
\( f(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f'(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f''(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = e^x - e^{-x} \) ...
Serie Maclaurin
\( 2+x^2+\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{360}x^6+\dfrac{1}{20160}x^8+ \ldots \:\)

c)
\( f(x) = e^{-x^2} \) , \( f'(x) = -2e^{-x^2}x \) , \( f''(x) = -2\left(-2e^{-x^2}x^2+e^{-x^2}\right) \) , \( f^{(3)}(x) = -2\left(4e^{-x^2}x^3-6e^{-x^2}x\right) \)
Serie Maclaurin
\( 1-x^2+\dfrac{1}{2}x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\dfrac{1}{24}x^8+\ldots \: \)

d)
\( f(x) = \sin(x) \) , \( f'(x) = \cos(x) \) , \( f''(x) = -\sin(x) \) , \( f^{(3)}(x) = - \cos(x) \) , ...
Serie Maclaurin
\( x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^5-\dfrac{1}{5040}x^7+\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

e)
\( f(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f'(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f''(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = e^x + e^{-x} \) ...
Serie Maclaurin
\( 2x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{60}x^5+\dfrac{1}{2520}x^7+\dfrac{1}{181440}x^9+\ldots \)

Parte C
\( P_5(x) = x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{30}x^5 \)

Altri riferimenti e collegamenti