Diese Seite präsentiert eine Sammlung von Aufgaben zu quadratischen Gleichungen für die 8. Klasse, komplett mit detaillierten Lösungen und klaren Erklärungen. Diese Textaufgaben helfen Schülern, Schlüsselkonzepte quadratischer Gleichungen zu üben und zu meistern. Für mehr zu diesem Thema besuchen Sie unser Tutorial zu quadratischen Gleichungen.
Das Produkt zweier positiver aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist gleich 56. Finden Sie die beiden ganzen Zahlen.
Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen haben die Form
\( x \) und \( x + 1 \)
Ihr Produkt ist gleich 56
\[ x(x + 1) = 56 \]Lösen und finden Sie die beiden Zahlen \( x \) und \( x + 1 \). Die obige Gleichung kann wie folgt geschrieben werden
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Lösungen: \( x = 7 \), \( x = -8 \)
\( x = -8 \) ist nicht gültig, da die Zahlen positiv sein müssen. Daher
\( x = 7 \) und \( x + 1 = 8 \) sind die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen.
Die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist gleich 145. Finden Sie die beiden Zahlen.
Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen haben die Form
\( x \) und \( x + 1 \)
Die Summe ihrer Quadrate ist gleich 145
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen, dann in Standardform schreiben
\[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Alle Terme durch 2 teilen
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Lösungen: \( x = 8 \) (nur positive Lösung)
Die zwei aufeinanderfolgenden Zahlen sind
\( x = 8 \) und \( x + 1 = 9 \).
Ein rechteckiger Garten hat eine Länge von x + 2 und eine Breite von x + 1 und eine Fläche von 42. Finden Sie den Umfang dieses Gartens.
Fläche gleich Länge mal Breite, also
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]In Standardform umschreiben
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Lösungen: \( x = -8 \) und \( x = 5 \)
Nur \( x = 5 \) ergibt positive Länge und Breite
Länge: \( x + 2 = 7 \)
Breite: \( x + 1 = 6 \)
Der Umfang ist
\[ 2 \times \text{Länge} + 2 \times \text{Breite} = 14 + 12 = 26 \]Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Kathete, die 3 cm länger ist als die andere Kathete. Seine Hypotenuse ist 3 cm länger als seine längere Kathete. Wie lang ist die Hypotenuse?
Sei \( y \) die Länge der kürzeren Kathete. Dann ist die längere Kathete
\( y + 3 \)
Die Hypotenuse ist 3 cm länger als die längere Kathete, also
\( (y + 3) + 3 = y + 6 \)
Den Satz des Pythagoras anwenden
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Ausmultiplizieren und vereinfachen
\[ y^{2} + y^{2} + 6y + 9 = y^{2} + 12y + 36 \] \[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Nur \( y = 9 \) ist gültig, da die Länge positiv sein muss.
Länge der Hypotenuse:
\( y + 6 = 15 \text{ cm} \)
Die Höhe h eines Objekts über dem Boden, das vertikal angetrieben wird, ist gegeben durch \( h = -16 t^2 + 64 t + 32 \), wobei \( h \) in Fuß und \( t \) in Sekunden ist. Zu welchem Zeitpunkt \( t \) befindet sich das Objekt 80 Fuß über dem Boden?
Das Objekt befindet sich 80 Fuß über dem Boden, wenn \( h = 80 \), also
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]In Standardform umschreiben
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \implies -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ -16(t^{2} - 4t + 3) = 0 \] \[ -16 (t - 1)(t - 3) = 0 \]Lösungen: \( t = 1 \) Sekunde und \( t = 3 \) Sekunden.
Das Objekt erreicht 80 Fuß bei \( t = 1 \), steigt auf, fällt dann herunter und passiert 80 Fuß bei \( t = 3 \) erneut, bevor es weiterfällt.
Die Fläche eines Rechtecks ist gleich 96 Quadratmetern. Finden Sie die Länge und Breite des Rechtecks, wenn sein Umfang gleich 40 Meter ist.
Sei \( L \) die Länge und \( W \) die Breite. Gegeben
\[ L \times W = 96 \]Der Umfang ist 40, also
\[ 2L + 2W = 40 \implies L + W = 20 \implies L = 20 - W \]In die Flächengleichung einsetzen
\[ (20 - W) \times W = 96 \]Ausmultiplizieren und umstellen
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]Lösungen: \( W = 8 \), \( W = 12 \)
Finde das entsprechende \( L \)
\[ \begin{cases} W = 8 \implies L = 12 \\ W = 12 \implies L = 8 \end{cases} \]Angenommen, die Länge ist die längere Seite, die Maße sind
\( W = 8 \) und \( L = 12 \)
Die Höhe eines Dreiecks ist 3 Fuß länger als seine entsprechende Grundseite. Die Fläche des Dreiecks ist gleich 54 Quadratfuß. Finden Sie die Grundseite und die Höhe des Dreiecks.
Sei \( b \) die Grundseite, dann ist die Höhe \( b + 3 \). Flächenformel:
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Beide Seiten mit 2 multiplizieren:
\[ 108 = b(b + 3) \]Als quadratische Gleichung umschreiben:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Löse die quadratische Gleichung:
\[ b = 9 \quad \text{oder} \quad b = -12 \]Die Grundseite muss positiv sein, also \( b = 9 \). Die Höhe ist
\[ 9 + 3 = 12 \]Das Produkt der ersten und der dritten von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen ist gleich 1 subtrahiert vom Quadrat der zweiten dieser Zahlen. Finden Sie die drei ganzen Zahlen.
Die Zahlen seien \( x \), \( x + 1 \) und \( x + 2 \).
Produkt der ersten und dritten ist:
\[ A = x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Eins weniger als das Quadrat der zweiten:
\[ B = (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2x + 1 - 1 = x^{2} + 2x \]Beide Ausdrücke \( A \) und \( B \) sind für alle reellen \( x \) gleich. Daher ist jede Menge von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen so, dass: das Produkt der ersten und der dritten von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen gleich 1 subtrahiert vom Quadrat der zweiten ist.
Das Produkt zweier positiver Zahlen ist gleich 2 und ihre Differenz ist gleich \( \dfrac{7}{2} \). Finden Sie die beiden Zahlen.
Sei \( x \) die kleinere Zahl. Dann ist die größere Zahl \( x + \frac{7}{2} \).
Das Produkt ist:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Ausmultiplizieren und als Standardquadratgleichung schreiben:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Löse die Gleichung:
\[ x = \frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad x = -4 \]Die positive Lösung ist \( x = \frac{1}{2} \), also sind die Zahlen
\[ \frac{1}{2} \quad \text{und} \quad \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4 \]Die Summe der Quadrate von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist gleich 77. Wie lauten die drei ganzen Zahlen?
Die Zahlen seien \( x \), \( x + 1 \) und \( x + 2 \).
Die Summe ihrer Quadrate ist
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Ausmultiplizieren und vereinfachen:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Löse die quadratische Gleichung:
\[ x = 4 \quad \text{oder} \quad x = -6 \]Für \( x = 4 \) sind die Zahlen
\( 4, 5, 6 \)
Für \( x = -6 \) sind die Zahlen
\( -6, -5, -4 \)