两个向量之间的角度计算器
(Angle Between Two Vectors Calculator)

免费在线计算器，可计算两个 2D 或 3D 向量 步形成的角度 \( \alpha \)。

计算器中使用的公式 (Formulas Used in the Calculator)

让向量 \( \vec {U} \) 和 \( \vec {V} \) 由它们的分量定义如下：
\( \vec {U} \; = \; \lt u_{x} , u_{y} , u_{z} \gt \)
\( \vec {V} \; = \; \lt v_{x} , v_{y} , v_{z} \gt \)
向量 \( \vec {U} \) 和 \( \vec {V} \) 的点积定义为：
\( \vec {U} \cdot \vec {V} = | \vec {U} | \cdot | \vec {U} | \cos \alpha \)
其中 \( | \vec {U} | \) 和 \( | \vec {U} | \) 分别是向量 \( \vec {U} \) 和 \( \vec {V} \) 的幅度，并且 \( \alpha \) 是两个向量之间的角度。
可以证明，两个向量 \( \vec {U} \) 和 \( \vec {V} \) 的点积由涉及两个向量分量的公式给出，如下所示：
\( \vec {U} \cdot \vec {V} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \)
因此 \( \cos \alpha \) 的公式由下式给出 \[ \large \color{red} {\cos \alpha = \dfrac{u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z }{| \vec {U} | \cdot | \vec {U} | } } \] 幅度 \( | \vec {U} | \) 和 \( | \vec {U} | \) 由下式给出
\( | \vec {U} | = \sqrt {u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 } \)
\( | \vec {V} | = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 } \)
使用反余弦函数将两个向量所成的角度 \( \alpha \) 表示为 \[ \large \color{red} {\alpha = \arccos \left (\dfrac{u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z }{\sqrt {u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 } \cdot \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 } } \right) } \]

计算器的使用

输入向量 \( \vec {U} \) 和 \( \vec {V} \) 的分量，然后按“计算”。 输出是幅度 \( | \vec {U} | \) 和 \( | \vec {U} | \)、点积 \( \vec {U} \cdot \vec {V} \) 和角度 \（ \α \）。 您还可以输入所需的小数位数。
请注意，您还可以通过将两个向量的 \( z \) 分量设置为零来使用二维向量计算器。

输出

更多链接和参考