圆的标准方程与一般方程及示例

圆的标准方程

下图显示圆心为 \( C \)、坐标由 \( C(h,k) \) 给出的圆。根据定义，圆上所有点 \( M(x,y) \) 到圆心的距离相等。换句话说，圆心为 \( C \) 的圆是所有到点 \( C \) 距离相等的点组成的集合。\( C \) 与圆上任意一点之间的距离称为半径，在下方图像中其长度为 \( r \)。

圆心 \( C(h,k) \) 到圆上一点 \( M(x,y) \) 的距离为 \[ CM = \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} \] 为求方程，我们利用定义写出距离 \( CM \) 等于半径 \( r \)： \[ \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r \] 处理平方根会带来额外的困难，可以避免。对方程两边平方即可消去上述方程中的平方根，得： \[ \left( \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} \right)^2 = r^2 \] 化简后得到圆心为 \( C(h,k) \)、半径为 \( r \) 的圆的标准方程 \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

圆上、圆内或圆外的点

要判断给定点是在圆上、圆内还是圆外，我们将圆心到该点的距离的平方与半径的平方进行比较。我们使用距离的平方而非距离本身，以避免使用平方根。

对于圆心为 \( C(h,k) \)、半径为 \( r \) 的圆，坐标为 \( (x_0 , y_0) \) 的点 \( P \)：
1) 在圆上，如果满足以下等式： \[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 = r^2 \] 2) 在圆内，如果满足以下不等式： \[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 < r^2 \] 3) 在圆外，如果满足以下不等式： \[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 > r^2 \]

例 2

圆的方程与圆内、圆外或圆上的点

以下点 \( P_1(1,5) \)、\( P_2(2,3) \) 和 \( P_3(4,7) \) 中，哪些在例 1 所给圆的内部、外部或圆上？

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例 1 中圆的圆心位于 \( C(2,5) \)，半径 \( r = 2 \)。

求圆心到每个给定点的距离的平方，并与半径的平方比较：

\( C \) 到 \( P_1 \) 的距离平方为：\( (2-1)^2 + (5-5)^2 = 1 \)，小于 \( r^2 = 4 \)。因此点 \( P_1 \) 在圆内部。
\( C \) 到 \( P_2 \) 的距离平方为：\( (2-2)^2 + (5-3)^2 = 4 \)，等于 \( r^2 = 4 \)。因此点 \( P_2 \) 在圆上。
\( C \) 到 \( P_3 \) 的距离平方为：\( (2-4)^2 + (5-7)^2 = 8 \)，大于 \( r^2 = 4 \)。因此点 \( P_3 \) 在圆外部。

圆和三个点如下图所示：

例 3

圆的方程与切线

求方程 \( (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 5 \) 所给圆在点 \( M(-4 , 3) \) 处的切线方程。

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将给定方程与一般标准方程比较，可推出圆心位于 \( C(-2,2) \)。

经过 \( C M \) 的直线的斜率 \( m_1 \) 为

\[ m_1 = \frac{3-2}{-4-(-2)} = -\frac{1}{2} \]

设 \( m_2 \) 为切线的斜率。由于切线与 \( C M \) 垂直，斜率 \( m_1 \) 与 \( m_2 \) 满足

\[ m_1 \times m_2 = -1 \]

即

\[ \left(-\frac{1}{2}\right) \times m_2 = -1 \]

解出 \( m_2 \) 得

\[ m_2 = 2 \]

现在已知斜率 \( m_2 \) 和切线经过的切点 \( M(-4,3) \)。利用点斜式求给定圆的切线方程：

\[ y - 3 = 2 (x - (-4)) \] \[ y = 2 x + 11 \]

作为练习，请绘制给定圆和上面求得的切线方程，并从图像上验证它们在点 \((-4,3)\) 处相切。

例 4

已知三点求圆的方程

求经过点 \( P_1(6,4) \)、\( P_2(-1,5) \) 和 \( P_3(2,-4) \) 的圆的方程。

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圆上一点的坐标必须满足圆的方程。我们写出每个给定点的坐标都满足一般形式的圆的方程：\( x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0 \)。

点 \( P_1(6,4) \) 在圆上；将 \( x \) 替换为 \( 6 \)，\( y \) 替换为 \( 4 \)：\( 6^2 + 4^2 + 6 A + 4 B + C = 0 \implies 6 A + 4 B + C = -52 \)。
点 \( P_2(-1,5) \) 在圆上；将 \( x \) 替换为 \( -1 \)，\( y \) 替换为 \( 5 \)：\( (-1)^2 + 5^2 - A + 5 B + C = 0 \implies - A + 5 B + C = -26 \)。
点 \( P_3(2,-4) \) 在圆上；将 \( x \) 替换为 \( 2 \)，\( y \) 替换为 \( -4 \)：\( 2^2 + (-4)^2 + 2 A - 4 B + C = 0 \implies 2 A - 4 B + C = -20 \)。

解方程组求 \( (A,B,C) \)：

\[ \begin{cases} 6 A + 4 B + C = -52 \\ - A + 5 B + C = -26 \\ 2 A - 4 B + C = -20 \end{cases} \]

解此方程组得：

\[ A = -4, \quad B = -2, \quad C = -20 \]

现在将 \( A \)、\( B \) 和 \( C \) 代入一般形式，写出圆的方程：

\[ x^2 + y^2 - 4 x - 2 y - 20 = 0 \]

下图展示了上面求得的圆和三个点：

例 5

将圆的一般方程改写为标准形式

将方程 \( x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0 \) 所给的圆的方程改写，并求其圆心和半径。

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将含 \( x \) 与 \( x^2 \) 的项、含 \( y \) 与 \( y^2 \) 的项分别分组：

\[ (x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + 5 = 0 \]

对括号内的每个二项式配方：

\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + 5 = 0 \]

写成标准形式：

\[ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \]

将上述方程与标准形式 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) 比较，确定圆心的坐标 \( h \) 和 \( k \) 以及半径 \( r \)：

\[ h = -3, \quad k = 1, \quad r^2 = 5 \]

圆的圆心坐标为 \( (-3, 1) \)，半径 \( r = \sqrt{5} \)。

探索圆的方程的交互式教程

通过改变标准方程 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) 中的参数 \( h \)、\( k \) 和 \( r \) 来进行探索。
这是一个 HTML5 小程序，用于帮助探索圆的方程和圆的性质。

圆心的 x 坐标
h =

-10+10

圆心的 y 坐标
k =

-10+10

圆的半径
r =

1 - 点击上方“绘制”按钮开始。使用左侧面板中的 + 和 - 按钮进行放大和缩小。
2 - 使用滑块和/或输入框将参数 \( h \) 和 \( k \) 设为 0，参数 \( r \) 设为 1。检查所示圆的圆心是否位于 \( (0,0) \)、半径是否等于 1。
3 - 特殊情况：使用滑块和/或输入框将 \( r \) 设为零，参数 \( h \) 和 \( k \) 设为不同的值，圆的图像是一个点。请解释。
（提示：解方程 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = 0^2 \)）
4 - 保持 \( r \) 等于 1，通过改变 \( h \) 和 \( k \) 平移圆。检查圆的圆心是否位于 \( (h , k) \)。
5 - 保持 \( h \) 和 \( k \) 不变，改变 \( r \)。检查圆的半径是否为 \( r \)。
6 - 将 \( h \)、\( k \) 和 \( r \) 设为 1。该圆与 x 轴有一个交点，与 y 轴有一个交点。这些称为 x 截距和 y 截距。利用圆的方程解析地求出这些点。
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] （提示：求 \( x \) 截距时在方程中令 \( y = 0 \) 并解出 \( x \)。求 \( y \) 截距时在方程中令 \( x = 0 \) 并解出 \( y \)。）
7 - 将 \( r \) 设为 2，\( h \) 设为某个值。将 \( k \) 从 -1.8 变化到 1.8（\( |h| < r \)）。有多少个 x 截距？将 \( k \) 设为 2（半径），有多少个 x 截距？将 \( k \) 设为 -2，有多少个 x 截距？将 \( k \) 设为大于 2（半径）的值，有多少个 x 截距？将 \( k \) 设为小于 -2 的值，有多少个 x 截距？请解析地解释。
8 - 通过改变 \( h \) 的值，对 y 截距进行与上面第 7 步相同的探索。
9 - 练习：解析地求出使相应圆没有 x 或 y 截距的 \( h \)、\( k \) 和 \( r \) 值。用图像检验你的答案。

圆的方程