本教程包含求圆的方程、半径和圆心的详细示例解答与配套练习[cite: 1]。还提供详细解释。每个解答都隐藏在可折叠下拉框中，方便你在查看步骤之前独立练习。
圆是与某一点 \( C(h,k) \)（称为圆心）等距的点集。圆心到圆上任意一点的固定距离 \( r \) 称为半径。
圆心位于 \( C(h,k) \)、半径为 \( r \) 的圆的标准方程为：
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
求圆心位于 \((2, -4)\)、半径为 \(5\) 的圆的方程。
将标准方程中的 \((h, k)\) 替换为 \((2, -4)\)，\(r\) 替换为 \(5\)，得：
\[ (x - 2)^2 + (y - (-4))^2 = 5^2 \]
化简：
\[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 25 \]
将 \(h\)、\(k\) 和 \(r\) 参数设置到这个小程序中并绘制圆。从图像上验证该方程就是给定圆心和半径的圆的方程。
求圆心位于 \((2, -4)\)、半径为 \(3\) 的圆的方程。
将 \((h, k) = (2, -4)\) 和 \(r = 3\) 代入标准方程：
\[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 3^2 \implies (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 9 \]
求直径端点为 \(A(-1, 2)\) 和 \(B(3, 2)\) 的圆的方程。
圆的圆心 \(C\) 是构成直径 \(AB\) 的线段的中点。首先用中点公式求 \(C\) 的坐标：
\[ C\left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = C(1,2) \]
半径 \(r\) 是 \(A\) 与 \(B\) 之间距离的一半。因此：
\[ r = \frac{1}{2} \sqrt{ [3 - (-1)]^2 + [2 - 2]^2 } \]
\[ = \frac{1}{2} \sqrt{4^2 + 0^2} = 2 \]
将 \(C\) 的坐标和半径 \(r\) 用于圆的标准方程，得到方程：
\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 \implies (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \]
将 \(h\)、\(k\) 和 \(r\) 参数设置到这个小程序中并绘制圆。
求直径端点为 \(A(0, -2)\) 和 \(B(0, 2)\) 的圆的方程。
圆心位于 \(A\) 与 \(B\) 的中点：\( C(0, 0) \)
半径是 \(A\) 与 \(B\) 之间距离的一半：\( r = \frac{1}{2}\sqrt{(0-0)^2 + (2 - (-2))^2} = 2 \)
方程：\( x^2 + y^2 = 4 \)
求以下方程所给圆的圆心和半径：
\[ x^2 - 4x + y^2 - 6y + 9 = 0 \]
分组并配方：
\[ (x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 9 = 0 \]
\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 = 2^2 \]
圆心位于 \(C(2, 3)\)，半径 \(r = 2\)。
求以下方程所给圆的圆心和半径：
\[ x^2 - 2x + y^2 - 8y + 1 = 0 \]
分组并配方：
\[ (x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 1 = 0 \]
\[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 - 16 = 0 \implies (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 4^2 \]
半径 = 4
圆心位于 \( (1 , 4) \)。
点 \(P(3, 4)\) 是在以下方程所给圆的内部、外部还是圆上？
\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \]
圆心 \(C(-2, 3)\)，半径 \(r = 3\)。\(C\) 到 \(P(3, 4)\) 的距离：
\[ \sqrt{[3 - (-2)]^2 + [4 - 3]^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26} \approx 5.1 \]
由于 \(\sqrt{26} > 3\)，点 \(P\) 在圆外。
点 \(P(-1, -3)\) 是在以下方程所给圆的内部、外部还是圆上？
\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4 \]
圆心位于 \( (1 , -3) \)，半径 \(r = 2\)。
圆心到点 \((-1 , -3)\) 的距离 \( d \)：
\[
d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-3 + 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = 2
\]
由于 \(d = r = 2\)，点 P 在圆上。
求使三个点 \(A(0, 4)\)、\(B(3, 5)\) 和 \(D(7, 3)\) 都在圆上的圆的方程。
令圆心 \(C(h,k)\) 到 \(A, B, D\) 的距离等于半径 \(r\)，得到方程组：
\[ \begin{cases} 2k + 6h = 18 \\ -2k + 14h = 42 \end{cases} \]
解得 \(h = 3\)，\(k = 0\)。半径 \(r = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = 5\)。
方程：\((x - 3)^2 + y^2 = 25\)。
求使三个点 \(A(-5, 0)\)、\(B(1, 0)\) 和 \(D(-2, -3)\) 都在圆上的圆的方程。
设圆心为 \(C(h,k)\)。令 \(C\) 到 \(A(-5,0)\)、\(B(1,0)\) 和 \(D(-2,-3)\) 的距离的平方相等：
\[ (h + 5)^2 + k^2 = (h - 1)^2 + k^2 \implies h^2 + 10h + 25 = h^2 - 2h + 1 \implies 12h = -24 \implies h = -2 \]
再令到 \(B\) 和 \(D\) 的距离相等：
\[ (-2 - 1)^2 + k^2 = (-2 + 2)^2 + (k + 3)^2 \implies 9 + k^2 = (k + 3)^2 \implies 6k = 0 \implies k = 0 \]
圆心为 \(C(-2, 0)\)。利用点 \(B(1,0)\) 求半径的平方：
\[ r^2 = (1 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 = 3^2 = 9 \]
圆的方程：
\[ (x + 2)^2 + y^2 = 9 \]
求与方程 \(x + y = 2\) 所给直线相切、且圆心位于 \((3, 5)\) 的圆的方程。
经过圆心 \((3,5)\) 且垂直于 \(x + y = 2\)（$m = -1$）的直线斜率为 \(m_2 = 1\)，方程为 \(y = x + 2\)。交点（切点）位于 \((0,2)\)。
半径 \(r = \sqrt{(3-0)^2 + (5-2)^2} = 3\sqrt{2}\)。
方程：\((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 18\)。
求与方程 \(x + 2y = 2\) 所给直线相切、且圆心位于 \((0,5)\) 的圆的方程。
给定直线为 \(x + 2y = 2\)，可写为 \(y = -\frac{1}{2}x + 1\)，斜率 \(m_1 = -\frac{1}{2}\)。
经过圆心 \((0, 5)\) 且垂直于切线的直线斜率为 \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = 2\)。其方程为：
\[ y - 5 = 2(x - 0) \implies y = 2x + 5 \]
将 \(y = 2x + 5\) 代入切线方程 \(x + 2y = 2\)，求切点：
\[ x + 2(2x + 5) = 2 \implies 5x + 10 = 2 \implies 5x = -8 \implies x = -\frac{8}{5} \]
对应的 \(y\) 坐标：
\[ y = 2\left(-\frac{8}{5}\right) + 5 = -\frac{16}{5} + \frac{25}{5} = \frac{9}{5} \]
半径的平方 \(r^2\) 是圆心 \((0,5)\) 到切点 \(\left(-\frac{8}{5}, \frac{9}{5}\right)\) 的距离的平方：
\[ r^2 = \left(-\frac{8}{5} - 0\right)^2 + \left(\frac{9}{5} - 5\right)^2 = \frac{64}{25} + \left(-\frac{16}{5}\right)^2 = \frac{64}{25} + \frac{256}{25} = \frac{320}{25} = \frac{64}{5} \]
圆的方程：
\[ x^2 + (y - 5)^2 = \frac{64}{5} \]